Derivasjon fra definisjon for andregradsfunksjon S1 H12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{2} + 1

Vis at $f^{'} (x) = 4 x$ ved å bruke definisjonen av den deriverte.

Fasit

$f^{'} (x) = 4 x$

LøsningsforslagKI-generert

Definisjonen av den deriverte er

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Vi finner først $f (x + h)$ når $f (x) = 2 x^{2} + 1$ :

f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + 1 = 2 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) + 1 = 2 x^{2} + 4 x h + 2 h^{2} + 1

Da blir differansen

f (x + h) - f (x) = (2 x^{2} + 4 x h + 2 h^{2} + 1) - (2 x^{2} + 1) = 4 x h + 2 h^{2}

Setter vi dette inn i definisjonen:

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{4 x h + 2 h^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h (4 x + 2 h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4 x + 2 h)

Når $h \to 0$ , går leddet $2 h$ mot 0, og vi står igjen med

f^{'} (x) = 4 x

Dette er det vi skulle vise.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2012, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Bevis

Innstillinger