Derivasjon av x opphøyd i x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $h$ er gitt ved

h (x) = x^{x}, x > 0

Forklar at vi kan skrive

h (x) = e^{x \ln x}

Bestem $h^{'} (x)$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$h^{'} (x) = x^{x} (\ln x + 1)$

LøsningsforslagKI-generert

For $x > 0$ kan vi bruke at $a = e^{\ln a}$ for ethvert positivt tall $a$ . Med $a = x^{x}$ får vi

x^{x} = e^{\ln (x^{x})}

Ved hjelp av logaritmeregelen $\ln (a^{b}) = b \cdot \ln a$ kan eksponenten skrives om:

\ln (x^{x}) = x \cdot \ln x

Dermed er

h (x) = x^{x} = e^{x \ln x}

Vi deriverer $h (x) = e^{x \ln x}$ med kjerneregelen. Kjernen er $u (x) = x \ln x$ , og

h^{'} (x) = e^{u (x)} \cdot u^{'} (x) = e^{x \ln x} \cdot {(x \ln x)}^{'}

Den deriverte av $u (x) = x \ln x$ finner vi med produktregelen, ${(f \cdot g)}^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , der $f (x) = x$ og $g (x) = \ln x$ :

u^{'} (x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

Siden $e^{x \ln x} = x^{x}$ , får vi til slutt

h^{'} (x) = x^{x} (\ln x + 1)

Svar: $h^{'} (x) = x^{x} (\ln x + 1)$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2014, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmefunksjoner

Innstillinger