Derivasjon av rotfunksjoner med potensregelen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Karin har lært at det er mulig å bruke derivasjonsregelen ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ til å derivere funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

Hun starter med å skrive

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{- \frac{1}{2}}

Så deriverer hun:

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}

Skriv om uttrykket for $f^{'} (x)$ ovenfor, og vis at

f^{'} (x) = - \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}}

Funksjonene $g$ og $h$ gitt ved $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ og $h (x) = \sqrt{x}$ kan også deriveres ved å bruke derivasjonsregelen ovenfor.

Bestem $g^{'} (x)$ og $h^{'} (x)$ .

Fasit

$f^{'} (x) = - \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}}$

$g^{'} (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ , $h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi starter med uttrykket Karin har funnet:

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}

Først regner vi ut eksponenten:

- \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{3}{2}

Så

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}

Vi skriver om $x^{\frac{3}{2}}$ tilbake til rotform, samme regel som Karin brukte i motsatt retning: $x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^{3}}$ . Dermed er

f^{'} (x) = - \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}}

som er det vi skulle vise.

Vi skriver om $g (x) = \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$ og bruker ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ med $n = - 2$ :

g^{'} (x) = - 2 \cdot x^{- 2 - 1} = - 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x^{3}}

Vi skriver om $h (x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ og bruker ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ med $n = \frac{1}{2}$ :

h^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2014, del 1, oppgave 10
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Potenser, Røtter

Innstillinger