Derivasjon av polynom, produkt og kvotient

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - \sqrt{x}

g (x) = x^{2} \cdot \ln (2 x - 1)

h (x) = \frac{4 x}{e^{2 x}}

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$g^{'} (x) = 2 x \ln (2 x - 1) + \frac{2 x^{2}}{2 x - 1}$

$h^{'} (x) = \frac{4 - 8 x}{e^{2 x}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ og deriverer ledd for ledd med potensregelen:

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}}

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = 3 x^{2} + 4 x - \frac{1}{2 \sqrt{x}}

Vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med $u = x^{2}$ og $v = \ln (2 x - 1)$ .

Da er $u^{'} = 2 x$ , og med kjerneregelen er $v^{'} = \frac{2}{2 x - 1}$ .

g^{'} (x) = 2 x \cdot \ln (2 x - 1) + x^{2} \cdot \frac{2}{2 x - 1}

g^{'} (x) = 2 x \ln (2 x - 1) + \frac{2 x^{2}}{2 x - 1}

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med $u = 4 x$ og $v = e^{2 x}$ .

Da er $u^{'} = 4$ og $v^{'} = 2 e^{2 x}$ .

h^{'} (x) = \frac{4 \cdot e^{2 x} - 4 x \cdot 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}} = \frac{e^{2 x} (4 - 8 x)}{e^{4 x}}

h^{'} (x) = \frac{4 - 8 x}{e^{2 x}}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2019, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen

Innstillinger