Definisjonen av den deriverte

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} + 2 x, D_{f} = ℝ

Bruk definisjonen til den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 2 x + 2$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x + 2$

LøsningsforslagKI-generert

Definisjonen av den deriverte gir

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Vi finner først $f (x + h)$ .

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h) = x^{2} + 2 x h + h^{2} + 2 x + 2 h

Da blir telleren

f (x + h) - f (x) = (x^{2} + 2 x h + h^{2} + 2 x + 2 h) - (x^{2} + 2 x) = 2 x h + h^{2} + 2 h

Vi setter dette inn i brøken og faktoriserer ut $h$ i telleren.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 x h + h^{2} + 2 h}{h} = \frac{h (2 x + h + 2)}{h} = 2 x + h + 2

Til slutt lar vi $h \to 0$ .

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (2 x + h + 2) = 2 x + 2

Vi har dermed vist at $f^{'} (x) = 2 x + 2$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 E2015, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi

Innstillinger