Datatrafikk og sinusmodell R2 V26

Selskapet IntCom er en internettleverandør. Selskapet sørger for overføring av data mellom kundene og internett. Datatrafikken varierer gjennom døgnet.

Tabellen nedenfor viser datatrafikken (gigabit per time) et døgn i mai.

Tidspunkt (klokkeslett)	00:00	02:00	06:00	08:00	12:00	16:00	20:00	22:00
Datatrafikk (gigabit per time)	58 280	39 400	22 550	32 200	67 450	86 110	102 007	87 810

Lag en god modell for datatrafikken $S(t)$ gigabit per time, $t$ timer etter midnatt dette døgnet.

Videre i oppgaven skal du bruke modellen

D(t) = 63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24 t - 3{,}0)

for datatrafikken $D(t)$ , $t$ timer etter midnatt dette døgnet.

Når var datatrafikken ut fra selskapet mer enn $90\,000$ gigabit per time ifølge modellen?

Når økte datatrafikken raskest, og hvor stor var denne økningen ifølge modellen?

Hvor stor del av den totale datamengden som IntCom overførte dette døgnet, ble overført i løpet av arbeidsdagen, det vil si mellom klokken 8 og klokken 16, ifølge modellen?

Fasit

$S(t) \approx 63\,200 + 37\,200 \cdot \sin(0{,}243t - 2{,}96)$

Datatrafikken var over $90\,000$ gigabit/time mellom ca. kl. 15:54 og ca. kl. 22:11.

Datatrafikken økte raskest kl. 12:30, med en økning på $\underline{\underline{8\,880}}$ gigabit per time per time.

Ca. $\underline{\underline{31{,}5 \,\%}}$ av den totale datamengden ble overført mellom kl. 8 og kl. 16.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS – alle deloppgaver

Vi legger dataene fra tabellen inn i GeoGebra Regneark og kjører Regresjonsanalyse med sinusmodell. GeoGebra gir

S(t) \approx 63\,197 + 37\,214 \cdot \sin(0{,}243t - 2{,}956)

Avrundet:

\underline{\underline{S(t) \approx 63\,200 + 37\,200 \cdot \sin(0{,}243t - 2{,}96)}}

Vi bruker modellen $D(t) = 63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24t - 3{,}0)$ og løser ulikheten

D(t) > 90\,000

som tilsvarer å løse likningen $D(t) = 90\,000$ for å finne grensepunktene. Vi ber GeoGebra CAS løse (se linje 2 i utklippet):

63\,000 + 37\,000 \cdot \sin(0{,}24t - 3{,}0) = 90\,000

GeoGebra gir de generelle løsningene $t \approx 15{,}908 + 26{,}18k$ og $t \approx 22{,}182 + 26{,}18k$ for heltall $k$ . I intervallet $\langle 0, 24 \rangle$ (ett døgn) er løsningene

t_1 \approx 15{,}908 \approx \text{kl. } 15{:}54 \qquad t_2 \approx 22{,}182 \approx \text{kl. } 22{:}11

Siden sinusfunksjonen er over grenseverdien mellom de to skjæringspunktene, var datatrafikken over $90\,000$ gigabit per time i tidsrommet

\underline{\underline{\text{ca. kl. 15:54 til ca. kl. 22:11}}}

(Avrundet: ca. kl. 16:00 til ca. kl. 22:00.)

Datatrafikken øker raskest der den deriverte $D'(t)$ er størst. Vi deriverer (se linje 3 i utklippet):

D'(t) = 37\,000 \cdot 0{,}24 \cdot \cos(0{,}24t - 3{,}0) = 8\,880 \cdot \cos(0{,}24t - 3{,}0)

$D'(t)$ er størst når $\cos(0{,}24t - 3{,}0) = 1$ , det vil si når

0{,}24t - 3{,}0 = 0 \implies t = \frac{3{,}0}{0{,}24} = 12{,}5

som tilsvarer kl. 12:30. Den største økningen er (se linje 4 i utklippet):

D'(12{,}5) = 8\,880 \cdot \cos(0) = \underline{\underline{8\,880 \text{ gigabit per time per time}}}

Vi beregner andelen av total datamengde som ble overført mellom kl. 8 og kl. 16 ved hjelp av integraler. Total datamengde over ett døgn (se linje 5 i utklippet):

\int_0^{24} D(t) \, \mathrm{d}t \approx 1\,502\,454 \text{ gigabit}

Datamengde overført mellom kl. 8 og kl. 16 (se linje 6 i utklippet):

\int_8^{16} D(t) \, \mathrm{d}t \approx 473\,763 \text{ gigabit}

Andelen er (se linje 7 i utklippet):

\frac{\displaystyle\int_8^{16} D(t)\,\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_0^{24} D(t)\,\mathrm{d}t} \approx \frac{473\,763}{1\,502\,454} \approx 0{,}315

$\underline{\underline{\text{Ca. } 31{,}5 \,\%}}$ av den totale datamengden ble overført i løpet av arbeidsdagen mellom kl. 8 og kl. 16.

Sensorveiledning

Kandidaten må ha en regresjon med en funksjon som egner seg godt for dette døgnet for å få uttelling.

3 poeng

Kandidaten må finne et intervall for å få uttelling.

1 poeng for tidspunkt og 1 poeng for økning. Kandidater som inkluderer feil eller ingen enhet for økningen, kan få full uttelling, men det tas med i helhetsvurderingen.

3 poeng

En riktig strategi som ikke fører helt frem kan gi 1 poeng. Kandidater som kun regner integralet fra 08-16 kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: trigonometri, modellering, regresjon, derivasjon, integrasjon
Kompetansemål: Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett
Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Anvende derivasjon og integrasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett