Cauchys middelverdisetning

I 1823 viste matematikeren Augustin Louis Cauchy følgende setning:

La $f(x) = x^2 + 3x + 1$ .

Bestem $c$ når $a = 1$ og $b = 3$ .

Lag et program som bestemmer $c$ , når du gir verdier til $a$ og $b$ .

Bruk programmet til å undersøke om det finnes en sammenheng mellom verdien av $c$ og verdiene av $a$ og $b$ .

Anne påstår at dersom $a = 2$ og $b = 8$ , så vil $c = 5$ for alle andregradsfunksjoner.

Avgjør om Annes påstand er riktig.

Fasit

$\underline{\underline{c = 2}}$

Se program i løsningsforslaget.

$c$ er alltid midtpunktet $\frac{a+b}{2}$ .

Annes påstand er riktig for alle andregradsfunksjoner (med $p \neq 0$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $c \in \langle 1, 3 \rangle$ slik at $f'(c) = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ .

Vi beregner først høyresiden:

\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{(9 + 9 + 1) - (1 + 3 + 1)}{2} = \frac{19 - 5}{2} = 7

Siden $f'(x) = 2x + 3$ , løser vi likningen $f'(c) = 7$ :

2c + 3 = 7

I GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – løsning del a) og del d)

CAS gir $c = 2$ . Vi sjekker at $c = 2 \in \langle 1, 3 \rangle$ ✓.

$\underline{\underline{c = 2}}$

Programmet beregner den midlere stigningen $m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ og leter så trinnvis fra $x = a$ til $f'(x) \approx m$ :

def f(x):
    return x**2 + 3*x + 1

a = 1
b = 3
m = (f(b) - f(a)) / (b - a)     # midlere stigning

h = 0.0001
c = a
while (f(c + h) - f(c)) / h < m:   # finn c der f'(c) ≈ m
    c = c + h

print("c =", round(c, 4))

Programmet skriver ut c = 2.0.

Ved å kjøre programmet for ulike verdier av $a$ og $b$ (for eksempel $a = 0, b = 4$ gir $c = 2$ ; $a = -2, b = 2$ gir $c = 0$ ; $a = 1, b = 5$ gir $c = 3$ ) ser vi at $c$ alltid er lik midtpunktet:

c = \frac{a + b}{2}

Vi viser dette analytisk for en generell andregradsfunksjon $h(x) = px^2 + qx + r$ med $p \neq 0$ .

Midlere stigning:

\frac{h(b) - h(a)}{b - a} = \frac{p(b^2 - a^2) + q(b - a)}{b - a} = \frac{(b - a)(p(b + a) + q)}{b - a} = p(a + b) + q

(CAS bekrefter: se linje 4 i skjermbildet over — uttrykket forenkles til $ap + pb + q$ .)

Setter $h'(c)$ lik midlere stigning:

h'(c) = 2pc + q = p(a + b) + q

2pc = p(a + b) \implies c = \frac{a + b}{2}

(CAS bekrefter i linje 5: $c = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b$ .)

Siden $c = \dfrac{a+b}{2}$ gjelder for alle andregradsfunksjoner med $p \neq 0$ , og spesielt for $a = 2$ , $b = 8$ :

c = \frac{2 + 8}{2} = 5

Annes påstand er $\underline{\underline{\text{riktig}}}$ .

Sensorveiledning

En god strategi kan gi 1 poeng.

Dersom grunnidéen i koden er korrekt, men har noen små mangler, kan det gis 1 poeng. Det er selvsagt ikke nødvendig å bruke input-funksjonen for å få full uttelling.

4 poeng

Kandidater som finner en riktig sammenheng ved å bruke programmet, kan få full uttelling. Kandidater som undersøker sammenhenger ved hjelp av programmet, men som ikke klarer å finne en tydelig sammenheng, kan få 1 poeng. Kandidater som finner en riktig sammenheng uten å bruke programmet, kan få 2 poeng hvis de begrunner godt.

4 poeng

Argumentasjon ved å bruke flere eksempler, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: derivasjon, programmering, bevis, argumentasjon
Kompetansemål: Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter