Bruddstyrke fiskesene

En leverandør selger en type sene for fiske. De oppgir at bruddstyrken $X$ for senen i en tilfeldig valgt spole av denne typen er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 56$ kg og standardavvik $\sigma = 2{,}3$ kg.

Hva er sannsynligheten for at senen i en tilfeldig valgt spole tåler minst 53 kg?

Tenk deg at du skal gjøre målinger av bruddstyrken til senen i 25 tilfeldig valgte spoler av denne typen.

Bestem sannsynligheten for at senen i alle de 25 spolene tåler mer enn 50 kg.

La $\bar{X}$ være gjennomsnittet til målingene.

Bestem $P(\bar{X} \leq 55)$ .

Leverandøren har en mistanke om at bruddstyrken er lavere enn 56 kg. De ønsker derfor å gjennomføre en hypotesetest der de vil teste senen i 25 tilfeldig valgte spoler.

Sett opp en hypotesetest som du kan bruke for å avgjøre om det er grunnlag for leverandørens mistanke.

Vi går ut fra at standardavviket til bruddstyrken fremdeles er $\sigma = 2{,}3$ kg. Vi vil bruke et signifikansnivå på 5 prosent.

Hva er den høyeste gjennomsnittlige verdien for bruddstyrken til senene i 25 tilfeldig valgte spoler, som gjør at vi kan konkludere med at det er grunnlag for leverandørens mistanke?

Fasit

$P(X \geq 53) \approx 0{,}904$

$\approx 0{,}892$

$P(\bar{X} \leq 55) \approx 0{,}015$

Se løsningsforslag

$\bar{x} \approx 55{,}24 \mathrm{~kg}$

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er normalfordelt med $\mu = 56$ og $\sigma = 2{,}3$ .

P(X \geq 53) = 1 - P(X < 53) = 1 - \Phi\!\left(\frac{53 - 56}{2{,}3}\right) = 1 - \Phi(-1{,}30)

= 1 - 0{,}0968 = \underline{\underline{0{,}904}}

La $Y$ være antall spoler der senen tåler mer enn 50 kg. Sannsynligheten for at én spole tåler mer enn 50 kg:

P(X > 50) = 1 - \Phi\!\left(\frac{50 - 56}{2{,}3}\right) = 1 - \Phi(-2{,}61) = 0{,}9955

For at alle 25 spolene tåler mer enn 50 kg:

P(Y = 25) = 0{,}9955^{25} \approx \underline{\underline{0{,}892}}

$\bar{X}$ er normalfordelt med $\text{E}(\bar{X}) = 56$ og $\text{SD}(\bar{X}) = \dfrac{2{,}3}{\sqrt{25}} = 0{,}46$ .

P(\bar{X} \leq 55) = \Phi\!\left(\frac{55 - 56}{0{,}46}\right) = \Phi(-2{,}17) \approx \underline{\underline{0{,}015}}

Leverandøren mistenker at bruddstyrken er lavere enn oppgitt. Vi setter opp:

H_0\colon \mu = 56 \quad \text{(bruddstyrken er som oppgitt)}

H_1\colon \mu < 56 \quad \text{(bruddstyrken er lavere enn oppgitt)}

Vi gjennomfører en venstresidig test med $n = 25$ , $\sigma = 2{,}3$ og signifikansnivå $\alpha = 0{,}05$ .

Under $H_0$ er $\bar{X}$ normalfordelt med $\mu = 56$ og $\text{SD}(\bar{X}) = 0{,}46$ .

Vi forkaster $H_0$ dersom $\bar{X}$ er lavere enn den kritiske verdien $\bar{x}_k$ som oppfyller

P(\bar{X} \leq \bar{x}_k) = 0{,}05

\frac{\bar{x}_k - 56}{0{,}46} = z_{0{,}05} = -1{,}645

\bar{x}_k = 56 - 1{,}645 \cdot 0{,}46 \approx \underline{\underline{55{,}24 \mathrm{~kg}}}

Dersom den gjennomsnittlige bruddstyrken i utvalget er 55,24 kg eller lavere, kan vi konkludere med at det er grunnlag for leverandørens mistanke.

Oppgavedata

Poeng: 10
Temaer: normalfordeling, hypotesetest, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet