Brøk og logaritmeuttrykk med forenkling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{1}{2 x - 2} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 3}

2 \ln (x \cdot y^{3}) - \frac{1}{2} \ln (\frac{x^{4}}{y^{2}})

Fasit

$\frac{3}{2 (x - 3)}$

$7 \ln (y)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer nevnerne for å finne fellesnevner:

2 x - 2 = 2 (x - 1) x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

Fellesnevner blir $2 (x - 1) (x - 3)$ . Vi utvider hver brøk:

\frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x - 2}{(x - 1) (x - 3)} = \frac{1 \cdot (x - 3)}{2 (x - 1) (x - 3)} + \frac{2 \cdot 2 (x - 1)}{2 (x - 1) (x - 3)} - \frac{2 (x - 2)}{2 (x - 1) (x - 3)}

Vi slår sammen tellerne:

\frac{(x - 3) + 4 (x - 1) - 2 (x - 2)}{2 (x - 1) (x - 3)} = \frac{x - 3 + 4 x - 4 - 2 x + 4}{2 (x - 1) (x - 3)} = \frac{3 x - 3}{2 (x - 1) (x - 3)}

Telleren faktoriseres som $3 x - 3 = 3 (x - 1)$ , og vi kan forkorte med $(x - 1)$ :

\frac{3 (x - 1)}{2 (x - 1) (x - 3)} = \frac{3}{2 (x - 3)}, x \neq 1, x \neq 3

Vi bruker logaritmeregelen $a \cdot \ln (u) = \ln (u^{a})$ på begge ledd:

2 \ln (x \cdot y^{3}) - \frac{1}{2} \ln (\frac{x^{4}}{y^{2}}) = \ln ({(x y^{3})}^{2}) - \ln (\sqrt{\frac{x^{4}}{y^{2}}}) = \ln (x^{2} y^{6}) - \ln (\frac{x^{2}}{y})

Deretter bruker vi regelen $\ln (u) - \ln (v) = \ln (\frac{u}{v})$ :

\ln (\frac{x^{2} y^{6}}{\frac{x^{2}}{y}}) = \ln (x^{2} y^{6} \cdot \frac{y}{x^{2}}) = \ln (y^{7}) = 7 \ln (y)

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2018, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Algebra, Brøk, Logaritmer

Innstillinger