Bordplate som trekant i 3D

Et bord har en bordplate med en form som en trekant $ABC$ . Dersom vi tenker oss bordet plassert i et tredimensjonalt koordinatsystem der enhetene langs aksene er desimeter, vil hjørnene ha koordinatene $A(0, 0, 0)$ , $B(2, 3, 0)$ og $C(1, 4, 1)$ .

Er noen av vinklene i trekanten større enn $90°$ ? Husk å begrunne svaret.

Bestem arealet av bordplaten.

En plante på veggen har en gren som vokser slik at den følger en rett linje gjennom punktene $D(3, 7, 3)$ og $E(2, 3, 2)$ .

Vis at grenen aldri vil treffe bordplaten.

Fasit

Ja, vinkelen ved $B$ er større enn $90°$ (ca. $99{,}2°$ )

$\underline{\underline{\text{Areal} = \dfrac{\sqrt{38}}{2} \approx 3{,}08 \, \mathrm{dm}^2}}$

Retningsvektoren til grenen er parallell med planet — linja og planet har ingen felles punkt.

LøsningsforslagKI-generert

Vi undersøker om noen av vinklene er større enn $90°$ ved å beregne skalarproduktet mellom sidene som møtes i hvert hjørne. En vinkel er stump dersom og bare dersom skalarproduktet er negativt.

Vi setter opp vektorene mellom hjørnene:

\overrightarrow{AB} = B - A = (2, 3, 0)

\overrightarrow{AC} = C - A = (1, 4, 1)

\overrightarrow{BA} = A - B = (-2, -3, 0)

\overrightarrow{BC} = C - B = (-1, 1, 1)

\overrightarrow{CA} = A - C = (-1, -4, -1)

\overrightarrow{CB} = B - C = (1, -1, -1)

Vinkel ved $A$ :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 0 \cdot 1 = 2 + 12 + 0 = 14 > 0

Vinkelen ved $A$ er akutt.

Vinkel ved $B$ :

\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2)(-1) + (-3)(1) + 0 \cdot 1 = 2 - 3 + 0 = -1 < 0

Vinkelen ved $B$ er stump, altså større enn $90°$ .

Vinkel ved $C$ :

\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-1)(1) + (-4)(-1) + (-1)(-1) = -1 + 4 + 1 = 4 > 0

Vinkelen ved $C$ er akutt.

Vi kan beregne den eksakte vinkelen ved $B$ :

\cos B = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{\sqrt{39}} \approx -0{,}160

B \approx 99{,}2°

Konklusjon: Vinkelen ved $B$ er større enn $90°$ .

Arealet av trekant $ABC$ beregner vi med kryssprodukt-formelen:

\text{Areal} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|

Vi beregner kryssproduktet:

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix}

= \mathbf{i}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 4) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 4 - 3 \cdot 1)

= \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(5) = (3, -2, 5)

Lengden av kryssproduktet:

|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}

Arealet blir:

\text{Areal} = \frac{\sqrt{38}}{2} \approx 3{,}08 \, \mathrm{dm}^2

Vi skal vise at grenen (linja gjennom $D(3,7,3)$ og $E(2,3,2)$ ) aldri treffer bordplaten (planet gjennom $A$ , $B$ og $C$ ).

Steg 1: Finn planlikningen for bordplaten.

Fra deloppgave b) vet vi at $\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (3, -2, 5)$ er normalvektor til planet. Siden $A(0,0,0)$ ligger i planet, blir planlikningen:

3x - 2y + 5z = 0

Steg 2: Parametriser grenen.

Retningsvektoren til grenen er:

\overrightarrow{DE} = E - D = (2-3,\, 3-7,\, 2-3) = (-1, -4, -1)

Et punkt på grenen: $(x, y, z) = (3 - s,\, 7 - 4s,\, 3 - s)$ for $s \in \mathbb{R}$ .

Steg 3: Sett inn i planlikningen.

3(3 - s) - 2(7 - 4s) + 5(3 - s)

= 9 - 3s - 14 + 8s + 15 - 5s

= (9 - 14 + 15) + (-3 + 8 - 5)s

= 10 + 0 \cdot s = 10

Siden koeffisienten foran $s$ er $0$ , er uttrykket konstant lik $10$ for alle $s$ . Ligningen $10 = 0$ har ingen løsning.

Det betyr at $\overrightarrow{DE} \cdot \mathbf{n} = (-1)(3) + (-4)(-2) + (-1)(5) = -3 + 8 - 5 = 0$ , altså er retningsvektoren til grenen vinkelrett på normalvektoren til planet. Dermed er grenen parallell med bordplaten.

Siden $D$ ikke ligger i planet ( $3 \cdot 3 - 2 \cdot 7 + 5 \cdot 3 = 9 - 14 + 15 = 10 \neq 0$ ), ligger grenen i sin helhet utenfor planet.

Avstanden fra et vilkårlig punkt på grenen til bordplaten er konstant:

d = \frac{|10|}{\sqrt{38}} = \frac{10}{\sqrt{38}} \approx 1{,}62 \, \mathrm{dm}

Konklusjon: Grenen er parallell med bordplaten og aldri treffer den.

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som finner vektorene, kan få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å regne ut riktig vektorprodukt og 1 poeng for å finne arealet. Kandidaten kan få full uttelling selv om enhet utelates i svaret, men det kan tas med i helhetsvurderingen.

2 poeng

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til riktig svar kan få 1 poeng. Kandidater som viser at greina er parallell med bordplata, men ikke sjekker om den ligger i bordplata kan få full uttelling.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: vektorer, geometri, areal
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet