Binomisk forsøk med 12 elever til førerkortkurs

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Statistikk viser at 74 prosent av alle oppkjøringer til førerkort klasse B blir bestått.

juni 2022 skal 7 gutter og 5 jenter fra en videregående skole ha oppkjøring til førerkort klasse B.

Hva må vi gå ut fra i denne situasjonen for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?

Hva er sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen?

Hva er sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består oppkjøringen?

Fasit

Vi må gå ut fra at forsøkene er uavhengige og at sannsynligheten for å bestå er den samme (0,74) for alle elevene.

$P(X \geq 8) \approx 0{,}821$

$P \approx 0{,}1228$

LøsningsforslagKI-generert

For at vi kan se på dette som et binomisk forsøk, må følgende forutsetninger gjelde:

Det er et fast antall forsøk: $n = 12$ elever.
Hvert forsøk har to mulige utfall: bestått eller ikke bestått.
Sannsynligheten for å bestå er den samme for alle elevene: $p = 0{,}74$ .
Forsøkene er uavhengige av hverandre – om én elev består, påvirker ikke sjansen for at en annen består.

La $X$ være antallet elever som består. Vi antar $X \sim \text{Bin}(12,\ 0{,}74)$ .

Vi skal finne $P(X \geq 8)$ :

P(X \geq 8) = \sum_{k=8}^{12} \binom{12}{k} \cdot 0{,}74^k \cdot 0{,}26^{12-k}

= P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) + P(X=11) + P(X=12)

\approx 0{,}2034 + 0{,}2573 + 0{,}2197 + 0{,}1137 + 0{,}0270

\approx 0{,}821

Sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består er omtrent $0{,}821$ , altså ca. 82 %.

Vi har to uavhengige grupper: 7 gutter og 5 jenter. La $G$ = antall gutter som består og $J$ = antall jenter som består.

G \sim \text{Bin}(7,\ 0{,}74), \quad J \sim \text{Bin}(5,\ 0{,}74)

Siden gruppene er uavhengige:

P(G = 5 \text{ og } J = 4) = P(G = 5) \cdot P(J = 4)

P(G = 5) = \binom{7}{5} \cdot 0{,}74^5 \cdot 0{,}26^2 \approx 0{,}3150

P(J = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}74^4 \cdot 0{,}26^1 \approx 0{,}3898

P(G = 5 \text{ og } J = 4) \approx 0{,}3150 \cdot 0{,}3898 \approx 0{,}1228

Sannsynligheten er omtrent $0{,}1228$ , altså ca. 12 %.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter