Bil på spiralvei i parkeringshus

En bil kjører opp en spiralformet vei inne i et parkeringshus.

Posisjonen til bilen etter $t$ sekunder er gitt ved

\vec{r}(t) = \left[ 4\cos\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ 4\sin\left(\frac{\pi}{5}t\right) + 2,\ 5 + \frac{1}{3}t \right], \qquad t \in [0, 20]

der bakkenivået er $xy$ -planet i et koordinatsystem med meter som enhet langs aksene.

Hvor høyt over bakkenivået er bilen etter 5 sekunder?

Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og farten til bilen etter 10 sekunder.

Gjør nødvendige antakelser og bestem en mulig avstand mellom etasjene i parkeringshuset.

Fasit

$\underline{\underline{\frac{20}{3} \approx 6{,}67 \, \mathrm{m}}}$ over bakkenivået

$\vec{v}(t) = \left[ -\dfrac{4\pi}{5}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}t\right),\ \dfrac{4\pi}{5}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{5}t\right),\ \dfrac{1}{3} \right]$ , fart $\underline{\underline{\approx 2{,}54 \, \mathrm{m/s}}}$ (konstant)

Avstanden mellom etasjene er $\underline{\underline{\frac{10}{3} \approx 3{,}3 \, \mathrm{m}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har gitt posisjonsvektor

\vec{r}(t) = \left[ 4\cos\!\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ 4\sin\!\left(\frac{\pi}{5}t\right) + 2,\ 5 + \frac{1}{3}t \right], \qquad t \in [0, 20]

$z$ -koordinaten gir høyden over bakkenivået ( $xy$ -planet). Vi setter $t = 5$ :

z(5) = 5 + \frac{1}{3} \cdot 5 = 5 + \frac{5}{3} = \frac{15}{3} + \frac{5}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67

Bilen er $\underline{\underline{\frac{20}{3} \approx 6{,}67 \, \mathrm{m}}}$ over bakkenivået etter 5 sekunder.

Vi deriverer $\vec{r}(t)$ komponentvis for å finne fartsvektoren. I GeoGebra CAS definerer vi $r(t)$ og beregner $v(t) = \vec{r}\,'(t)$ , farten $|\vec{v}(t)|$ og evaluerer ved $t = 10$ :

GeoGebra CAS – r(t), v(t) og fart

CAS gir:

\vec{v}(t) = \left[ -\frac{4\pi}{5}\sin\!\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ \frac{4\pi}{5}\cos\!\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ \frac{1}{3} \right]

Farten er lengden av fartsvektoren:

|\vec{v}(t)| = \sqrt{\left(\frac{4\pi}{5}\right)^2\!\sin^2\!\left(\frac{\pi}{5}t\right) + \left(\frac{4\pi}{5}\right)^2\!\cos^2\!\left(\frac{\pi}{5}t\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^2}

Siden $\sin^2(\cdot) + \cos^2(\cdot) = 1$ forenkler CAS uttrykket til:

|\vec{v}(t)| = \frac{\sqrt{144\pi^2 + 25}}{15} \approx 2{,}535 \, \mathrm{m/s}

Farten er konstant – den er uavhengig av $t$ . Etter 10 sekunder er farten den samme:

|\vec{v}(10)| = \frac{\sqrt{144\pi^2 + 25}}{15} \approx \mathbf{2{,}54 \, \mathrm{m/s}}

Farten til bilen etter 10 sekunder er $\underline{\underline{\frac{\sqrt{144\pi^2+25}}{15} \approx 2{,}54 \, \mathrm{m/s}}}$ .

Vi antar at én etasje tilsvarer én full omdreining av spiralen. En full omdreining skjer når argumentet $\frac{\pi}{5}t$ øker med $2\pi$ , det vil si når $t$ øker med $10$ sekunder.

Høydeforskjellen i løpet av én omdreining ( $\Delta t = 10 \, \mathrm{s}$ ) er:

\Delta z = z(t + 10) - z(t) = \frac{1}{3}(t+10) - \frac{1}{3}t = \frac{10}{3} \approx 3{,}3 \, \mathrm{m}

Dette er en realistisk etasjehøyde for et parkeringshus (typisk $2{,}5$ – $3{,}5 \, \mathrm{m}$ ).

Avstanden mellom etasjene er $\underline{\underline{\frac{10}{3} \approx 3{,}3 \, \mathrm{m}}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som finner $\vec{r}(5)$ kan få 1 poeng

2 poeng

1 poeng for å finne fartsvektoren (både $\vec{v}(10)$ og $\vec{v}(t)$ gir poeng) og 1 poeng for å finne farten.

2 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng. For å få full uttelling må minst en antakelse være med.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: vektorer, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet