I en regulær $n$-kant er hver vinkel gitt ved

For $n=5$ (femkant) blir vinkelen

For at flere regulære mangekanter skal møtes i ett punkt uten å overlappe eller danne åpning, må vinklene som møtes i punktet, til sammen bli nøyaktig $360°$. Det betyr at $108°$ må gå opp i $360°$ et helt antall ganger:

Siden dette ikke er et helt tall, kan vi verken legge $3$ femkanter (som gir $3\cdot 108°=324°$, med en åpning på $36°$) eller $4$ femkanter (som gir $4\cdot 108°=432°$, som er mer enn $360°$ og gir overlapp) rundt et punkt. Derfor er det ikke mulig å fylle en flate med bare regulære femkanter.

Vi deler den likesidede trekanten i to like rettvinklede trekanter ved å tegne høyden fra toppunktet ned til midten av grunnlinjen. Grunnlinjen har lengde $4$, så halve grunnlinjen er $2$.

I den rettvinklede trekanten er hypotenusen lik sidekanten $4$, og en katet er $2$. Vi finner høyden $h$ med Pytagoras’ setning:

Arealet av trekanten er

Med kalkulator:

$\underline{\underline{A=2\sqrt{12}\approx \mathrm{6,9}}}$

Alle mangekantene har omkrets $12$, så sidekanten blir ${\displaystyle \frac{12}{n}}$.

Kvadrat ($n=4$): sidekant $3$. Arealet av et kvadrat er sidekant i annen:

Sekskant ($n=6$): sidekant $2$. En regulær sekskant kan deles i $6$ like likesidede trekanter med sidekant $2$, ved å trekke linjer fra sentrum til hvert hjørne, som vist på skissen.

På samme måte som i b) finner vi høyden i en slik trekant med Pytagoras. Halve sidekanten er $1$, og hypotenusen (sidekanten) er $2$:

Arealet av én trekant blir

Sekskanten består av $6$ slike trekanter, så

Til slutt regner vi ut forholdet ${\displaystyle \frac{\text{Omkrets}}{\text{Areal}}}$ for alle tre mangekantene:

Forholdet ${\displaystyle \frac{\text{Omkrets}}{\text{Areal}}}$ forteller hvor mye omkrets (materiale i veggene) som trengs per enhet areal som omsluttes. Jo lavere dette forholdet er, desto mindre materiale trengs for å omslutte et gitt areal.

Av tabellen ser vi at forholdet minker når antall sider $n$ øker: trekanten har det høyeste forholdet ($\mathrm{1,74}$), kvadratet et lavere ($\mathrm{1,33}$), og sekskanten det laveste ($\mathrm{1,15}$). Blant de tre mangekantene bruker altså sekskanten minst materiale i forhold til arealet den omslutter.

Dette kan hjelpe oss å forstå hvorfor bien bruker sekskanten: bien lager cellene av voks, som er kostbart for bien å produsere. Ved å bruke sekskantformen (i stedet for trekant eller kvadrat) får bien størst mulig lagringsplass (areal) for minst mulig bruk av voks (omkrets/materiale) samtidig som formene kan flatefylle uten åpninger, slik vi så i a).