Metode 1: Arealet som trapes

Figuren er et trapes. De to parallelle sidene er toppen med lengde $a$ og bunnen med lengde $b$. Både toppen og bunnen står vinkelrett på høyre side (det er markert med rette vinkler i hjørnene), så høyre side er høyden i trapeset. Høyre side er delt i to biter, $b$ og $a$, så høyden er $b+a$.

Arealet av et trapes er

Vi setter inn de parallelle sidene $a$ og $b$, og høyden $a+b$:

Metode 2: Arealet som sum av tre trekanter

Trapeset er delt opp i tre rettvinklede trekanter:

• Den øverste trekanten har katetene $a$ og $b$, og hypotenusen $c$.
• Den nederste trekanten har katetene $b$ og $a$, og hypotenusen $c$.
• Den midterste trekanten har de to hypotenusene $c$ og $c$ som sider, med en rett vinkel mellom dem (markert på figuren).

Arealet av en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av katetene. For de to ytre trekantene blir arealet:

For den midterste trekanten er $c$ og $c$ de to katetene (siden vinkelen mellom dem er $90°$), så arealet blir:

Summen av de tre trekantarealene er da:

De to uttrykkene satt lik hverandre

Arealet av figuren er det samme uansett hvordan vi regner det ut, så vi kan sette de to uttrykkene lik hverandre:

Vi bruker første kvadratsetning, ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$, på venstre side:

Hva vi oppdager

Vi ender opp med likningen $a^2+b^2=c^2$, som er nettopp den pytagoreiske læresetningen. Ved å regne ut arealet av det samme trapeset på to forskjellige måter — som trapes og som sum av tre rettvinklede trekanter — har vi dermed bevist at setningen stemmer for alle rettvinklede trekanter med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$. $\underline{\underline{a^2+b^2=c^2}}$