Bevis for at 4ⁿ minus 1 er delelig med 3

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi vil undersøke om tallet $(4^{n} - 1)$ er delelig med 3 når $n$ er et naturlig tall.

For hånd

Kontroller at $(4^{n} - 1)$ er delelig med 3 når $n = 1$ , $n = 2$ , $n = 3$ og $n = 4$ .

For hånd

Vis at $(4^{n} - 1) = (2^{n} - 1) \cdot (2^{n} + 1)$ .

For hånd

Forklar at $(2^{n} - 1)$ , $2^{n}$ og $(2^{n} + 1)$ er tre hele tall som ligger etter hverandre på tallinjen. Forklar at ett av disse tallene er delelig med 3. Hvilket av tallene kan ikke være delelig med 3?

For hånd

Bruk b) og c) over til å bevise at $(4^{n} - 1)$ er delelig med 3 for alle naturlige tall $n$ .

Fasit

$4^{n} - 1$ er delelig med $3$ for $n = 1, 2, 3, 4$

$(4^{n} - 1) = (2^{n} - 1) (2^{n} + 1)$

$2^{n}$ er ikke delelig med $3$

Bevist for alle naturlige tall $n$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $n = 1, 2, 3, 4$ :

4^{1} - 1 = 3 = 3 \cdot 1

4^{2} - 1 = 15 = 3 \cdot 5

4^{3} - 1 = 63 = 3 \cdot 21

4^{4} - 1 = 255 = 3 \cdot 85

Alle fire tallene er delelige med $3$ .

Vi bruker konjugatsetningen $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ med $a = 2^{n}$ og $b = 1$ :

(2^{n} - 1) (2^{n} + 1) = {(2^{n})}^{2} - 1^{2} = 2^{2 n} - 1 = {(2^{2})}^{n} - 1 = 4^{n} - 1

Dermed er

(4^{n} - 1) = (2^{n} - 1) (2^{n} + 1)

Tallene $(2^{n} - 1)$ , $2^{n}$ og $(2^{n} + 1)$ ligger etter hverandre på tallinjen, altså tre påfølgende hele tall.

Blant tre påfølgende hele tall er alltid nøyaktig ett av dem delelig med $3$ .

Tallet $2^{n}$ er en potens av $2$ , og siden $2$ ikke har noen faktor $3$ , kan $2^{n}$ aldri være delelig med $3$ . Derfor må det være ett av naboene, $(2^{n} - 1)$ eller $(2^{n} + 1)$ , som er delelig med $3$ .

Fra b) vet vi at

4^{n} - 1 = (2^{n} - 1) (2^{n} + 1)

Fra c) vet vi at minst én av faktorene $(2^{n} - 1)$ og $(2^{n} + 1)$ er delelig med $3$ .

Når én av faktorene i et produkt er delelig med $3$ , er hele produktet delelig med $3$ . Dermed er

4^{n} - 1 delelig med 3 for alle naturlige tall n

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2010, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Bevis, Induksjon, Algebra

Bevis for at 4ⁿ minus 1 er delelig med 3

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bevis for at 4ⁿ minus 1 er delelig med 3

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bevis for at 4ⁿ minus 1 er delelig med 3

Bevis for at 4ⁿ minus 1 er delelig med 3

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer