Vi skal bevise påstanden $P(n):f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ for $f(x)=x^n$, $n\in \mathbb{N}$, ved induksjon.

Grunnlaget ($n=1$):

For $n=1$ er $f(x)=x^1=x$. Vi vet fra grunnleggende derivasjon at $f^{\prime }(x)=1$. Formelen gir

Dette stemmer, så $P(1)$ er sann.

Induksjonssteget:

Vi antar at $P(k)$ er sann for en vilkårlig $k\in \mathbb{N}$, altså at

Vi skal vise at da må også $P(k+1)$ være sann, altså at ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left(x^{k+1}\right)=(k+1)x^k$.

Vi skriver $x^{k+1}=x^k\cdot x$ og bruker produktregelen ${(uv)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ med $u=x^k$ og $v=x$. Her bruker vi induksjonsantakelsen $u^{\prime }=k{x}^{k-1}$ og vet at $v^{\prime }=1$:

Dette er nettopp påstanden $P(k+1)$.

Konklusjon:

Vi har vist at $P(1)$ er sann, og at $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ for alle $k\in \mathbb{N}$. Ved induksjonsprinsippet er dermed $P(n)$ sann for alle $n\in \mathbb{N}$, altså