Bestemme a, b og asymptoter for rasjonal funksjon fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser grafen til en rasjonal funksjon $f$ på formen

f (x) = \frac{a x + b}{x - 2}, x \neq 2

Graf til den rasjonale funksjonen f

Bestem $a$ , $b$ og asymptotene til $f$ .

Fasit

$a = 2, b = 6$ , vertikal asymptote $x = 2$ , horisontal asymptote $y = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av to punkter som grafen går gjennom. Grafen skjærer $y$ -aksen i $(0, - 3)$ og $x$ -aksen i $(- 3,0)$ .

Vi setter inn $(0, - 3)$ i $f (x) = \frac{a x + b}{x - 2}$ :

- 3 = \frac{a \cdot 0 + b}{0 - 2} = \frac{b}{- 2} \Rightarrow b = 6

Vi setter inn $(- 3,0)$ :

0 = \frac{a \cdot (- 3) + b}{- 3 - 2} = \frac{- 3 a + b}{- 5} \Rightarrow - 3 a + b = 0 \Rightarrow b = 3 a

Siden $b = 6$ , gir dette $3 a = 6$ , altså $a = 2$ .

Funksjonen er dermed

f (x) = \frac{2 x + 6}{x - 2}

Kontroll: $f (4) = \frac{8 + 6}{4 - 2} = \frac{14}{2} = 7$ , som stemmer med grafen.

Asymptoter:

Den vertikale asymptoten er der nevneren er null, altså $x = 2$ (som også er oppgitt i funksjonsuttrykket, $x \neq 2$ ).

For den horisontale asymptoten skriver vi om brøken ved polynomdivisjon:

f (x) = \frac{2 x + 6}{x - 2} = \frac{2 (x - 2) + 10}{x - 2} = 2 + \frac{10}{x - 2}

Når $x \to \pm \infty$ , går $\frac{10}{x - 2} \to 0$ , så $f (x) \to 2$ . Den horisontale asymptoten er $y = 2$ .

$a = 2, b = 6$ , vertikal asymptote $x = 2$ , horisontal asymptote $y = 2$

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2022, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning

Innstillinger