Bestem tredjegradspolynom fra opplysninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et tredjegradspolynom kan skrives på formen

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

der $a$ , $b$ , $c$ og $d$ er konstanter.

Om funksjonen $f$ får du vite at

Forklar at opplysningene ovenfor gir likningssystemet

\begin{aligned} a + b + c + d &= 0 \\ -8a + 4b - 2c + d &= 0 \\ 3a + 2b + c &= 0 \\ d &= 2 \end{aligned}

Bestem et uttrykk for $f(x)$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ , og den deriverte er

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

De fire opplysningene gir hver sin likning:

$x = 1$ er nullpunkt betyr at $f(1) = 0$ :

a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + d = 0 \implies a + b + c + d = 0

$x = -2$ er nullpunkt betyr at $f(-2) = 0$ :

a \cdot (-2)^3 + b \cdot (-2)^2 + c \cdot (-2) + d = 0 \implies -8a + 4b - 2c + d = 0

$x = 1$ er ekstremalpunkt betyr at $f'(1) = 0$ (tangenten er horisontal i et ekstremalpunkt):

3a \cdot 1^2 + 2b \cdot 1 + c = 0 \implies 3a + 2b + c = 0

Grafen skjærer $y$ -aksen i $y = 2$ betyr at $f(0) = 2$ :

a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d = 2 \implies d = 2

De fire likningene til sammen gir likningssystemet

\begin{aligned} a + b + c + d &= 0 \\ -8a + 4b - 2c + d &= 0 \\ 3a + 2b + c &= 0 \\ d &= 2 \end{aligned}

Fra ligning 4 vet vi at $d = 2$ .

Setter $d = 2$ inn i ligning 1:

a + b + c + 2 = 0 \implies a + b + c = -2 \quad (*)

Setter $d = 2$ inn i ligning 2:

-8a + 4b - 2c + 2 = 0 \implies -8a + 4b - 2c = -2 \implies -4a + 2b - c = -1 \quad (**)

Fra ligning 3:

3a + 2b + c = 0 \quad (***)

Adderer $(*)$ og $(***)$ :

\begin{aligned} (a + b + c) + (3a + 2b + c) &= -2 + 0 \\ 4a + 3b + 2c &= -2 \quad (I) \end{aligned}

Adderer $(**)$ og $(***)$ :

\begin{aligned} (-4a + 2b - c) + (3a + 2b + c) &= -1 + 0 \\ -a + 4b &= -1 \quad (II) \end{aligned}

Fra $(*)$ : $c = -2 - a - b$ . Setter inn i $(I)$ :

\begin{aligned} 4a + 3b + 2(-2 - a - b) &= -2 \\ 4a + 3b - 4 - 2a - 2b &= -2 \\ 2a + b &= 2 \quad (III) \end{aligned}

Fra $(II)$ : $-a + 4b = -1 \implies a = 4b + 1$ . Setter inn i $(III)$ :

\begin{aligned} 2(4b + 1) + b &= 2 \\ 8b + 2 + b &= 2 \\ 9b &= 0 \\ b &= 0 \end{aligned}

Dermed $a = 4 \cdot 0 + 1 = 1$ , og fra $(*)$ : $c = -2 - 1 - 0 = -3$ .

Vi har funnet $a = 1$ , $b = 0$ , $c = -3$ , $d = 2$ , altså

\boxed{f(x) = \textbf{x}^3 - 3x + 2}

Kontroll:

\mathbf{f(x) = \underline{\underline{x^3 - 3x + 2}}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter