Bestem integralene R2 V16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x

\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x

Fasit

$3$

$\ln | \frac{x - 1}{x + 1} | + C$

LøsningsforslagKI-generert

\int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x = {[3 \ln | x |]}_{1}^{e} = 3 \ln e - 3 \ln 1 = 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 3

Vi spalter integranden i delbrøker. Siden $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , setter vi

\frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}

Multipliserer med fellesnevneren:

2 = A (x + 1) + B (x - 1)

For $x = 1$ : $2 = 2 A \Rightarrow A = 1$ . For $x = - 1$ : $2 = - 2 B \Rightarrow B = - 1$ .

Dermed er

\frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x = \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x = \ln | x - 1 | - \ln | x + 1 | + C = \ln | \frac{x - 1}{x + 1} | + C

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2016, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Rasjonale funksjoner

Innstillinger