Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $μ$ og standardavvik $σ$ .

Normalfordelingskurve med markeringer ved 173 og 183

I denne fordelingen er 15,9 prosent av elevene lavere enn 173 cm og 15,9 prosent av elevene er høyere enn 183 cm.

Bestem $μ$ og $σ$ .

Hvor stor andel av elevene er høyere enn 180 cm?

Fasit

$μ = 178 cm$ , $σ = 5 cm$

Ca. $34,5 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $μ$ og $σ$ når vi vet at $15,9 %$ av elevene er lavere enn 173 cm, og $15,9 %$ er høyere enn 183 cm.

Fra normalfordelingstabellen gjenkjenner vi at $15,9 % \approx 0,1587 = Φ (- 1)$ , altså er $P (Z \leq - 1) \approx 0,159$ .

Vi standardiserer grenseverdiene:

\frac{173 - μ}{σ} = - 1 \Rightarrow μ - σ = 173

Av symmetri er $P (X > 183) = 0,159 = P (Z > 1)$ , som gir:

\frac{183 - μ}{σ} = 1 \Rightarrow μ + σ = 183

Vi legger de to likningene sammen:

2 μ = 173 + 183 = 356 \Rightarrow μ = 178

Vi trekker den første likningen fra den andre:

2 σ = 183 - 173 = 10 \Rightarrow σ = 5

$μ = 178 cm$ og $σ = 5 cm$

Vi standardiserer $X = 180$ :

z = \frac{180 - 178}{5} = \frac{2}{5} = 0,4

Fra normalfordelingstabellen leser vi av:

Φ (0,4) \approx 0,6554

Dermed:

P (X > 180) = 1 - Φ (0,4) = 1 - 0,6554 = 0,3446

Ca. $34,5 %$ av elevene er høyere enn 180 cm.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2022, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Normalfordeling, Varians og standardavvik, Sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

Innstillinger