Bestem forventningsverdi og standardavvik fra prosenter

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$ .

Normalfordelingskurve med markeringer ved 173 og 183

I denne fordelingen er 15,9 prosent av elevene lavere enn 173 cm og 15,9 prosent av elevene er høyere enn 183 cm.

Bestem $\mu$ og $\sigma$ .

Hvor stor andel av elevene er høyere enn 180 cm?

Fasit

$\mu = 178 \text{ cm}$ , $\sigma = 5 \text{ cm}$

Ca. $34{,}5 \,\%$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $\mu$ og $\sigma$ når vi vet at $15{,}9\,\%$ av elevene er lavere enn 173 cm, og $15{,}9\,\%$ er høyere enn 183 cm.

Fra normalfordelingstabellen gjenkjenner vi at $15{,}9\,\%\approx 0{,}1587 = \Phi(-1)$ , altså er $P(Z \leq -1) \approx 0{,}159$ .

Vi standardiserer grenseverdiene:

\frac{173 - \mu}{\sigma} = -1 \quad \Rightarrow \quad \mu - \sigma = 173

Av symmetri er $P(X > 183) = 0{,}159 = P(Z > 1)$ , som gir:

\frac{183 - \mu}{\sigma} = 1 \quad \Rightarrow \quad \mu + \sigma = 183

Vi legger de to likningene sammen:

2\mu = 173 + 183 = 356 \quad \Rightarrow \quad \mu = 178

Vi trekker den første likningen fra den andre:

2\sigma = 183 - 173 = 10 \quad \Rightarrow \quad \sigma = 5

$\mu = \underline{\underline{178 \text{ cm}}}$ og $\sigma = \underline{\underline{5 \text{ cm}}}$

Vi standardiserer $X = 180$ :

z = \frac{180 - 178}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4

Fra normalfordelingstabellen leser vi av:

\Phi(0{,}4) \approx 0{,}6554

Dermed:

P(X > 180) = 1 - \Phi(0{,}4) = 1 - 0{,}6554 = 0{,}3446

Ca. $\underline{\underline{34{,}5 \,\%}}$ av elevene er høyere enn 180 cm.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: normalfordeling, standardavvik, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler