Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet en sirkel med radius $r = 1$ . Punktet $P(0{,}64,\ 0{,}77)$ ligger på sirkelen.

$Enhetssirkel med punkt P(0{,}64,\ 0{,}77) og 50°-vinkel$

Er $\tan 50\degree > 1$ ? Husk å begrunne svaret ditt.

Er $\tan 130\degree > 0$ ? Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Ja, $\tan 50\degree > 1$

Nei, $\tan 130\degree < 0$

LøsningsforslagKI-generert

I enhetssirkelen er $\cos v$ lik $x$ -koordinaten og $\sin v$ lik $y$ -koordinaten til punktet på sirkelen. Tangensen er definert som

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}

For $v = 50\degree$ gir punktet $P(0{,}64,\ 0{,}77)$ at

\tan 50\degree = \frac{\sin 50\degree}{\cos 50\degree} = \frac{0{,}77}{0{,}64} \approx 1{,}20

Siden $y$ -koordinaten $0{,}77$ er større enn $x$ -koordinaten $0{,}64$ , blir forholdet større enn $1$ .

Ja, $\tan 50\degree > 1$ .

Vinkelen $130\degree$ ligger i andre kvadrant. Her er $x$ -koordinaten negativ og $y$ -koordinaten positiv. Vi kan bruke symmetri i enhetssirkelen: $130\degree = 180\degree - 50\degree$ , og punktet på sirkelen ved $130\degree$ har koordinater $(-0{,}64,\ 0{,}77)$ .

\tan 130\degree = \frac{\sin 130\degree}{\cos 130\degree} = \frac{0{,}77}{-0{,}64} \approx -1{,}20

Fordi $x$ -koordinaten er negativ og $y$ -koordinaten er positiv, er forholdet $y/x$ negativt.

Nei, $\tan 130\degree < 0$ .

Sensorveiledning

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: enhetssirkel, trigonometri, argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar