Befolkningsvekst med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved inngangen til 2015 var folketallet i Norge $5 200 000$ . I en modell for befolkningsveksten antar vi at

netto innvandring per år vil være $44 000$
antall som blir født per år, vil være $1,1 %$ av folketallet
antall som dør per år, vil være $0,8 %$ av folketallet

Vi lar folketallet være $y (t)$ , der $t$ er antall år etter 2015.

For hånd

Forklar at vi kan skrive

y^{'} = 0,003 y + 44000, y (0) = 5200000

For hånd

Løs differensialligningen.

Kalkulator

Når vil folketallet passere 7 millioner ifølge denne modellen? Hvor stor er vekstfarten i folketallet da?

Fasit

Se løsningsforslag.

$y (t) = \frac{59 600 000}{3} \cdot e^{0,003 t} - \frac{44 000 000}{3}$

$t \approx 28,9 år, dvs. i løpet av 2043; vekstfarten er da 65 000 personer/år$

LøsningsforslagKI-generert

Antall som blir født per år er $1,1 % \cdot y = 0,011 y$ , og antall som dør per år er $0,8 % \cdot y = 0,008 y$ . Endringen i folketallet per år som skyldes fødte og døde, blir dermed

0,011 y - 0,008 y = 0,003 y

I tillegg kommer netto innvandring på $44 000$ personer per år. Den deriverte $y^{'}$ er den momentane veksten i folketallet per år, så

y^{'} = 0,003 y + 44000

Ved $t = 0$ (start av 2015) er folketallet $5 200 000$ , altså $y (0) = 5 200 000$ .

Differensiallikningen er lineær og separabel:

\frac{d y}{0,003 y + 44000} = d t

Vi løser med GeoGebra CAS. LøsODE(y'=0.003y+44000) gir den generelle løsningen

y = c_{1} \cdot e^{0,003 t} - \frac{44 000 000}{3}

Se skjermbilde under. Vi bestemmer $c_{1}$ ved å sette inn $t = 0$ , $y = 5 200 000$ :

5 200 000 = c_{1} \cdot e^{0} - \frac{44 000 000}{3} \Rightarrow c_{1} = \frac{59 600 000}{3}

Dette gir løsningen

y (t) = \frac{59 600 000}{3} \cdot e^{0,003 t} - \frac{44 000 000}{3}

Løsning av differensiallikningen i GeoGebra CAS

Vi løser $y (t) = 7 000 000$ med GeoGebra CAS (Løs(f(x)=7000000, x), se skjermbilde over), og finner

t = \frac{1000}{3} \ln (\frac{325}{298}) \approx 28,9 år

Siden $t$ telles fra starten av 2015, tilsvarer dette $2015 + 28,9 \approx 2043,9$ , altså i løpet av 2043 ifølge modellen.

Vekstfarten når folketallet passerer $7$ millioner, finner vi enklest direkte fra differensiallikningen i a):

y^{'} (t) = 0,003 \cdot 7 000 000 + 44 000 = 65 000 personer per år

Vi ser at dette stemmer med den deriverte av $y (t)$ beregnet i CAS (linje 3 i skjermbildet).

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2016, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Vekstfart

Befolkningsvekst med differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Befolkningsvekst med differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Befolkningsvekst med differensiallikning

Befolkningsvekst med differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer