Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et beløp ble satt inn på en bankkonto. Kapitalen $K$ på kontoen $t$ år etter at beløpet ble satt inn, er

K (t) = 30000 \cdot {1,035}^{t}

Kalkulator

Hvor stort beløp ble satt inn?

Hvor mye sto det på kontoen etter 8 år?

Kalkulator

Hvor lang tid tok det før beløpet på kontoen hadde økt til 40 000 kroner?

Kalkulator

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten de 15 første årene.

Fasit

$K (0) = 30 000 kr, K (8) \approx 39 504 kr$

$t \approx 8,36 år$

$gjennomsnittlig vekstfart \approx 1350,70 kr/år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser oppgaven med GeoGebra CAS.

Utregning i GeoGebra CAS

Startbeløpet er kapitalen ved $t = 0$ :

K (0) = 30000 \cdot {1,035}^{0} = 30000

Altså ble $30 000 kr$ satt inn på kontoen.

Etter $8$ år er kapitalen

K (8) = 30000 \cdot {1,035}^{8} \approx 39 504 kr

(se linje 3 i CAS-utklippet).

Vi må løse likningen $K (t) = 40000$ :

30000 \cdot {1,035}^{t} = 40000

{1,035}^{t} = \frac{4}{3}

t = \frac{\ln (\frac{4}{3})}{\ln (1,035)}

CAS gir (linje 4) $t \approx 8,36$ .

Det tok altså $ca. 8,4 år$ (litt over 8 år og 4 måneder) før beløpet på kontoen hadde økt til $40 000 kr$ .

Den gjennomsnittlige vekstfarten de $15$ første årene er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(0, K (0))$ og $(15, K (15))$ :

gjennomsnittlig vekstfart = \frac{K (15) - K (0)}{15}

Fra CAS (linje 5 og 6) er $K (15) \approx 50 260,46$ , som gir

\frac{50 260,46 - 30 000}{15} \approx 1350,70 kr/år

I gjennomsnitt økte altså kapitalen på kontoen med omtrent $1350,70$ kroner per år i denne perioden.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Også her kan ulike løsningsstrategier godkjennes.

En fullgod besvarelse må ha med benevning.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2011, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Geometrisk vekst, Vekstfart, Logaritmer

Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer