Ball og heis – andregradsfunksjon og lineær funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En ball blir kastet rett oppover. Funksjonen $b$ gitt ved

b(t) = -5t^2 + 25t + 2

viser ballens høyde $b(t)$ meter over bakken etter $t$ sekunder.

Tegn grafen til $b$ for $0 \leq t \leq 5{,}5$ .

Hvor høyt over bakken er ballen når den blir kastet? Hvor lang tid går det før ballen treffer bakken?

Hvor lang tid går det fra ballen blir kastet, til den når sitt høyeste punkt? Hvor høyt over bakken er ballen da?

Like ved stedet ballen blir kastet fra, er det et høyt hus med en utvendig heis. Idet ballen blir kastet, er heisen på vei nedover. Funksjonen $h$ gitt ved

h(t) = -5t + 27

viser heisens høyde $h(t)$ meter over bakken etter $t$ sekunder.

Tegn grafen til $h$ i samme koordinatsystem som grafen til $b$ . Bestem skjæringspunktene mellom de to grafene, og forklar hva skjæringspunktene forteller om ballen og heisen.

Fasit

Graf tegnet i GeoGebra (se under).

$\underline{\underline{b(0) = 2 \, \mathrm{m}}}$ ; ballen treffer bakken etter $\underline{\underline{t \approx 5{,}08 \mathrm{~s}}}$ .

Toppunktet nås etter $\underline{\underline{t = 2{,}5 \mathrm{~s}}}$ , høyde $\underline{\underline{33{,}25 \, \mathrm{m}}}$ .

Ball og heis er i samme høyde ved $t = 1 \mathrm{~s}$ ( $22 \, \mathrm{m}$ ) og ved $t = 5 \mathrm{~s}$ ( $2 \, \mathrm{m}$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen til $b(t) = -5t^2 + 25t + 2$ for $0 \leq t \leq 5{,}5$ .

Høyde ved kast – vi setter inn $t = 0$ :

b(0) = -5 \cdot 0^2 + 25 \cdot 0 + 2 = 2

Ballen er $\underline{\underline{2 \, \mathrm{m}}}$ over bakken når den kastes.

Denne avlesningen kan vi også gjøre direkte fra grafen: startpunktet ligger på $2$ på høyde-aksen.

Når treffer ballen bakken? – vi finner nullpunktet til $b(t)$ , altså løser $b(t) = 0$ . Vi leser av fra grafen at ballen treffer bakken etter omtrent $5{,}08$ sekunder.

Det tar $\underline{\underline{\approx 5{,}08 \mathrm{~s}}}$ før ballen treffer bakken.

Toppunktet til en parabel med $b(t) = at^2 + bt + c$ ligger ved symmetriaksen

t = -\frac{b}{2a} = -\frac{25}{2 \cdot (-5)} = -\frac{25}{-10} = 2{,}5

Vi setter inn $t = 2{,}5$ for å finne høyden:

b(2{,}5) = -5 \cdot (2{,}5)^2 + 25 \cdot 2{,}5 + 2 = -5 \cdot 6{,}25 + 62{,}5 + 2 = -31{,}25 + 62{,}5 + 2 = 33{,}25

Ballen når sitt høyeste punkt etter $\underline{\underline{2{,}5 \mathrm{~s}}}$ , og er da $\underline{\underline{33{,}25 \, \mathrm{m}}}$ over bakken.

Vi tegner $h(t) = -5t + 27$ i samme koordinatsystem og bruker GeoGebra til å finne skjæringspunktene mellom de to grafene.

Graf over b(t) og h(t) med skjæringspunkter

Fra grafen leser vi av to skjæringspunkter: $(1, 22)$ og $(5, 2)$ .

Vi kan også løse dette algebraisk. Vi setter $b(t) = h(t)$ :

-5t^2 + 25t + 2 = -5t + 27

-5t^2 + 30t - 25 = 0

t^2 - 6t + 5 = 0

(t - 1)(t - 5) = 0

t = 1 \quad \text{eller} \quad t = 5

Vi regner ut høyden ved begge tidspunktene:

h(1) = -5 \cdot 1 + 27 = 22 \, \mathrm{m}

h(5) = -5 \cdot 5 + 27 = 2 \, \mathrm{m}

Skjæringspunktene er altså $(1, 22)$ og $(5, 2)$ .

Skjæringspunktene forteller oss at ballen og heisen er i nøyaktig samme høyde samtidig to ganger: etter $1$ sekund (begge er $22 \, \mathrm{m}$ over bakken) og etter $5$ sekunder (begge er $2 \, \mathrm{m}$ over bakken).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Andregradslikninger, Lineære funksjoner, Funksjoner, Graftolkning

Ball og heis – andregradsfunksjon og lineær funksjon

Sync på tvers av enheter

Ball og heis – andregradsfunksjon og lineær funksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave