Ball i bevegelse med posisjonsvektor

En ball ruller av taket på et hus og ned på bakken. Vi plasserer et koordinatsystem slik at

$y$ -aksen ligger på bakken parallelt med husveggen
$x$ -aksen ligger på bakken, står vinkelrett på husveggen og skjærer $y$ -aksen der ballen forlater hustaket
$z$ -aksen angir høyden over bakken med positiv retning oppover

Koordinatsystem med hus og ball

Måleenheten på aksene er meter.

Posisjonen til ballen er gitt ved

\vec{r} (t) = [2 t, 4 t, 6 - 0,7 t - 4,9 t^{2}]

der $t$ er antall sekunder etter at ballen forlater taket.

Kalkulator

Hvor høyt over bakken er kanten på taket? Hva er posisjonen til ballen etter $0,5$ s?

Kalkulator

Bestem farten til ballen når den treffer bakken.

Kalkulator

Ved hvilket tidspunkt er farten til ballen $10 m / s$ ?

Fasit

6 m over bakken; posisjon $(1, 2, 4,425)$ etter 0,5 s

$\approx 11,8 m / s$

$t \approx 0,84 s$

Løsningsforslag

Løsning av oppgave 1 del 2 i CAS

$z$ -komponenten til $\vec{r} (t)$ gir oss høyden ved tiden $t = 0$

{\vec{r}}_{z} (0) = 6 - 0,7 \cdot 0 - 4,9 \cdot 0^{2} = 6

Posisjonen til ballen etter 0,5 s er gitt ved

\vec{r} (0,5) = [\begin{matrix} 2 \cdot 0,5, & 4 \cdot 0,5, & 6 - 0,7 \cdot 0,5 - 4,9 \cdot {0,5}^{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1, & 2, & 4,425 \end{matrix}]

Kanten av hustaket er 6 meter over bakken og ballen befinner seg i punktet $(1, 2, 4,425)$ etter 0,5 sekunder.

Vi må først finne ut når ballen treffer bakken, altså når ${\vec{r}}_{z} (t) = 0$ , se linje 1 i GeoGebra. Vi kan se bort fra negative løsninger siden denne modellen kun er gyldig etter at ballen har forlatt kanten av taket.

\begin{matrix} {\vec{r}}_{z} (t) & = 0 \\ 6 - 0,7 t - 4,9 t^{2} & = 0 \\ t & = 1,0374 \end{matrix}

Farten til ballen er gitt ved

\vec{v} (t) = \dot{\vec{r}} (t) = [\begin{matrix} 2, & 4, & - 9,8 t - 0,7 \end{matrix}]

Jeg tolker oppgaven slik at vi kun er interessert i farten og ikke retningen til ballen i det den treffer bakken. Z-komponenten til fartsvektoren er $\frac{d}{d t} (6 - 0,7 t - 4,9 t^{2}) = - 0,7 - 9,8 t$ . Farten er i så fall gitt ved

| \vec{v} (t) | = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + {(0,7 + 9,8 t)}^{2}} = \sqrt{{(9,8 t + 0,7)}^{2} + 20}

Farten når ballen treffer bakken vil være (se linje 2 i GeoGebra)

| \vec{v} (1,0374) | = \sqrt{{(9,8 \cdot 1,0374 + 0,7)}^{2} + 20} = \sqrt{138,1} \approx 11,75

Farten er $\approx 11,8 m/s$ når ballen treffer bakken.

Vi løser likningen (se linje 3 i GeoGebra)

\sqrt{{(9,8 t + 0,7)}^{2} + 20} = 10 ⟹ 9,8 t + 0,7 = \sqrt{80} ⟹ t = \frac{\sqrt{80} - 0,7}{9,8} \approx 0,841

Igjen kan vi se bort fra den negative løsningen.

Farta til ballen er 10 m/s etter $0,84$ sekunder.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

1 poeng for å finne høyden og 1 poeng for å finne posisjonen etter 0.5 sekunder.

Kandidater som regner ut fartsvektoren for riktig $t$ , men ikke regner ut absoluttverdien, kan få 1 poeng.

Riktig strategi, men feil utregning, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2024, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Ball i bevegelse med posisjonsvektor

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ball i bevegelse med posisjonsvektor

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ball i bevegelse med posisjonsvektor

Ball i bevegelse med posisjonsvektor

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer