Ball i bevegelse med posisjonsvektor

En ball ruller av taket på et hus og ned på bakken. Vi plasserer et koordinatsystem slik at

$y$ -aksen ligger på bakken parallelt med husveggen
$x$ -aksen ligger på bakken, står vinkelrett på husveggen og skjærer $y$ -aksen der ballen forlater hustaket
$z$ -aksen angir høyden over bakken med positiv retning oppover

Koordinatsystem med hus og ball

Måleenheten på aksene er meter.

Posisjonen til ballen er gitt ved

\vec{r}(t) = [2t,\ 4t,\ 6 - 0{,}7t - 4{,}9t^2]

der $t$ er antall sekunder etter at ballen forlater taket.

Hvor høyt over bakken er kanten på taket? Hva er posisjonen til ballen etter $0{,}5$ s?

Bestem farten til ballen når den treffer bakken.

Ved hvilket tidspunkt er farten til ballen $10 \mathrm{~m/s}$ ?

Fasit

6 m over bakken; posisjon $(1,\ 2,\ 4{,}425)$ etter 0,5 s

$\approx 11{,}8 \, \mathrm{m/s}$

$t \approx 0{,}84 \, \mathrm{s}$

Løsningsforslag

Løsning av oppgave 1 del 2 i CAS

$z$ -komponenten til $\vec{r}(t)$ gir oss høyden ved tiden $t=0$

\vec{r}_{z}(0)=6-0{,}7 \cdot 0 - 4{,}9 \cdot 0^{2}=6

Posisjonen til ballen etter 0,5 s er gitt ved

\vec{r}(0{,}5)=\begin{bmatrix} 2\cdot 0{,}5, & 4 \cdot 0{,}5, & 6-0{,}7\cdot 0{,}5-4{,}9\cdot 0{,}5^{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1, &2, &4{,}425 \end{bmatrix}

Kanten av hustaket er 6 meter over bakken og ballen befinner seg i punktet $(1, 2, 4{,}425)$ etter 0,5 sekunder.

Vi må først finne ut når ballen treffer bakken, altså når $\vec{r}_{z}(t)=0$ , se linje 1 i GeoGebra. Vi kan se bort fra negative løsninger siden denne modellen kun er gyldig etter at ballen har forlatt kanten av taket.

\begin{aligned} \vec{r}_{z}(t)&=0\\ 6-0{,}7t-4{,}9t^{2}&=0\\ t&=1{,}0374 \end{aligned}

Farten til ballen er gitt ved

\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t)=\begin{bmatrix} 2, &4, &-9{,}8t-0{,}7 \end{bmatrix}

Jeg tolker oppgaven slik at vi kun er interessert i farten og ikke retningen til ballen i det den treffer bakken. Z-komponenten til fartsvektoren er $\frac{d}{dt}(6-0{,}7t-4{,}9t^{2})=-0{,}7-9{,}8t$ . Farten er i så fall gitt ved

\lvert \vec{v}(t)\rvert=\sqrt{ 2^{2}+4^{2}+(0{,}7+9{,}8t)^{2} }=\sqrt{ (9{,}8t+0{,}7)^{2} +20 }

Farten når ballen treffer bakken vil være (se linje 2 i GeoGebra)

\lvert \vec{v}(1{,}0374)\rvert=\sqrt{ (9{,}8\cdot 1{,}0374+0{,}7)^{2} +20 }=\sqrt{138{,}1}\approx 11{,}75

Farten er $\underline{\underline{\approx 11{,}8 \text{ m/s}}}$ når ballen treffer bakken.

Vi løser likningen (se linje 3 i GeoGebra)

\sqrt{ (9{,}8t+0{,}7)^{2} +20 }=10 \implies 9{,}8t+0{,}7=\sqrt{80} \implies t=\frac{\sqrt{80}-0{,}7}{9{,}8}\approx 0{,}841

Igjen kan vi se bort fra den negative løsningen.

Farta til ballen er 10 m/s etter $\underline{\underline{0{,}84}}$ sekunder.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne høyden og 1 poeng for å finne posisjonen etter 0.5 sekunder.

3 poeng

Kandidater som regner ut fartsvektoren for riktig $t$ , men ikke regner ut absoluttverdien, kan få 1 poeng.

3 poeng

Riktig strategi, men feil utregning, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: vektorer, derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet