Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et bakeri lager $x$ kaker per dag, i tillegg til andre bakervarer. Bakeriet har funnet ut at de totale kostnadene $K (x)$ i kroner ved kakeproduksjonen avhenger av antall kaker, slik tabellen viser.

Antall kaker $x$	0	50	90	150	180	250
Totale kostnader $K (x)$	0	900	1000	1100	1500	4400

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme en polynomfunksjon av tredje grad som passer best mulig med tallene i tabellen.

I resten av oppgaven vil vi bruke kostnadsfunksjonen $K$ gitt ved

K (x) = 0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x, x \in [0, 250]

Bakeriet selger alle kakene for 15 kroner per stykk. Inntektsfunksjonen $I$ er da gitt ved

I (x) = 15 x

Krever PC

Tegn grafene til $K$ og $I$ i samme koordinatsystem. Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilke som gir underskudd.

Kalkulator

Bruk derivasjon til å bestemme hvor mange kaker som bør produseres dersom overskuddet skal bli størst mulig. Hva er det største overskuddet bakeriet kan oppnå per dag når vi bare ser på kakeproduksjonen?

Som et ekstra tilbud til kundene vurderer bakeriet å sette ned prisen per kake.

Kalkulator

La prisen per kake være $p$ kroner. Bestem den minste verdien $p$ kan ha dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. Hvor mange kaker bør lages og selges per dag når $p$ har denne verdien?

Fasit

$K (x) = 0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x$

Overskudd for $63 < x < 237$ , underskudd for $0 \leq x < 63$ og $237 < x \leq 250$

$x = 171 kaker gir størst overskudd, ca. 1207 kr$

$p = 7,5 kr, x = 150 k a k e r$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger tallene fra tabellen inn i et graftegningsverktøy og utfører kubisk (tredjegrads) regresjon på punktene $(0,0), (50,900), (90,1000), (150,1100), (180,1500), (250,4400)$ .

Regresjonen gir

K (x) = 0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x

som passer godt med de oppgitte kostnadstallene.

Vi tegner grafene til $K (x) = 0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x$ og $I (x) = 15 x$ i samme koordinatsystem for $x \in [0, 250]$ .

Graf av K(x) og I(x) med skjæringspunkter

Grafene viser at $K$ og $I$ skjærer hverandre i $x = 0$ , $x \approx 63,4$ og $x \approx 236,6$ .

Bakeriet går med overskudd ( $I (x) > K (x)$ ) når

63,4 < x < 236,6

og med underskudd ( $K (x) > I (x)$ ) når

0 \leq x < 63,4 eller 236,6 < x \leq 250

Siden antall kaker må være et helt tall, gir dette overskudd for $64 \leq x \leq 236$ kaker.

Overskuddet $O (x)$ er differansen mellom inntekt og kostnad:

O (x) = I (x) - K (x) = 15 x - (0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x) = - 0,001 x^{3} + 0,3 x^{2} - 15 x

Vi deriverer og setter den deriverte lik null for å finne ekstremalpunktene:

O^{'} (x) = - 0,003 x^{2} + 0,6 x - 15

CAS-utregningen (se bildet) gir

O^{'} (x) = 0 \Rightarrow x \approx 29,29 eller x \approx 170,71

CAS: overskuddsfunksjon, derivert og nullpunkter

Siden $O^{''} (x) = - 0,006 x + 0,6$ er negativ for $x \approx 170,71$ (og positiv for $x \approx 29,29$ ), er $x \approx 170,71$ et maksimumspunkt, mens $x \approx 29,29$ er et lokalt minimum.

Antall kaker må være et helt tall, så bakeriet bør produsere

x = 171 k a k e r

Overskuddet ved dette punktet er $O (170,71) \approx 1207,11 kr$ , altså et maksimalt overskudd på omtrent

1207 kr per dag

La prisen per kake være $p$ kroner. Inntektsfunksjonen blir da $I_{p} (x) = p x$ . Balanse (verken over- eller underskudd) er mulig for en pris $p$ dersom linja $y = p x$ når opp til (eller over) grafen til $K$ for minst én verdi av $x$ – altså dersom

p \geq \frac{K (x)}{x} for en eller annen x > 0

Den minste prisen som gjør balanse mulig, er derfor minsteverdien til gjennomsnittskostnaden

G (x) = \frac{K (x)}{x} = 0,001 x^{2} - 0,3 x + 30

Vi deriverer $G$ og setter $G^{'} (x) = 0$ :

G^{'} (x) = 0,002 x - 0,3 = 0 \Rightarrow x = 150

Se CAS-utregningen på bildet over. Siden $G$ er et andregradsuttrykk med positiv ledende koeffisient, er $x = 150$ et minimumspunkt. Minsteverdien er

G (150) = \frac{K (150)}{150} = 7,5

Den minste prisen som gjør balanse mulig, er dermed

p = 7,5 kr

og da bør bakeriet produsere og selge nøyaktig

x = 150 k a k e r

per dag, siden dette er punktet der kostnad og inntekt akkurat går i null ( $K (150) = I_{p} (150) = 1125 kr$ ).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Systematisk prøving og feiling eller grafisk løsning godtas som fullgodt.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2013, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Økonomi

Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer