Avstand fra punkt til linje og graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En linje $ℓ$ går gjennom punktene $A (4, - 2)$ og $B (6, 6)$ .

For hånd

Bestem den eksakte avstanden fra punktet $P (2, 8)$ til linjen $ℓ$ .

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} + 2 x

For hånd

Bestem den eksakte verdien for den minste avstanden mellom grafen til $f$ og linjen $ℓ$ .

Fasit

$d = \frac{18 \sqrt{17}}{17}$

$d_{\min} = \sqrt{17}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først likningen for linjen $ℓ$ gjennom $A (4, - 2)$ og $B (6, 6)$ .

Retningsvektor: $\vec{A B} = (6 - 4, 6 - (- 2)) = (2, 8)$

Normalvektor: $\vec{n} = (8, - 2)$ , forenklet $(4, - 1)$

Linjelikning: $4 (x - 4) - 1 (y - (- 2)) = 0$ , som gir

4 x - y - 18 = 0

Avstandsformelen fra et punkt $(x_{0}, y_{0})$ til linjen $a x + b y + c = 0$ :

d = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

For $P (2, 8)$ og linjen $4 x - y - 18 = 0$ :

d = \frac{| 4 \cdot 2 - 8 - 18 |}{\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{| - 18 |}{\sqrt{17}} = \frac{18}{\sqrt{17}} = \frac{18 \sqrt{17}}{17}

Se linjene 3–5 i GeoGebra CAS-utklippet.

Avstanden fra $P (2, 8)$ til $ℓ$ er $\frac{18 \sqrt{17}}{17} \approx 4,37$ .

Et punkt på grafen til $f$ har koordinatene $(x, x^{2} + 2 x)$ . Avstanden fra dette punktet til linjen $4 x - y - 18 = 0$ er

d (x) = \frac{| 4 x - (x^{2} + 2 x) - 18 |}{\sqrt{17}} = \frac{| - x^{2} + 2 x - 18 |}{\sqrt{17}} = \frac{x^{2} - 2 x + 18}{\sqrt{17}}

(Telleren $x^{2} - 2 x + 18 = {(x - 1)}^{2} + 17 > 0$ alltid, så absoluttverditegnet fjernes.)

Vi minimerer $d (x)$ ved å derivere telleren og sette den lik null:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 18) = 2 x - 2 = 0 ⟹ x = 1

Se linjene 7–8 i CAS-utklippet (se Derivert og Løs).

Minimumsavstanden:

d_{\min} = \frac{1^{2} - 2 \cdot 1 + 18}{\sqrt{17}} = \frac{17}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}

GeoGebra CAS

Den minste avstanden mellom grafen til $f$ og linjen $ℓ$ er $\sqrt{17} \approx 4,12$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som prøver og feiler og finner tilnærmet avstand, får ingen uttelling. Kandidater som bruker en fornuftig strategi, inkludert grafisk verktøy, uten å finne eksakt svar, kan få 1 poeng.

Det gis 1 poeng for å skissere en fornuftig strategi. Kandidater som bruker at avstanden mellom linjen og grafen er minst der tangenten til grafen er parallell med linjen, trenger ikke å argumentere for dette for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2023, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri, Optimering, Derivasjon
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Avstand fra punkt til linje og graf

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Avstand fra punkt til linje og graf

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Avstand fra punkt til linje og graf

Avstand fra punkt til linje og graf

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer