Avstand fra punkt til linje og graf

En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(4, -2)$ og $B(6, 6)$ .

Bestem den eksakte avstanden fra punktet $P(2, 8)$ til linjen $\ell$ .

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^2 + 2x

Bestem den eksakte verdien for den minste avstanden mellom grafen til $f$ og linjen $\ell$ .

Fasit

$\underline{\underline{d = \dfrac{18\sqrt{17}}{17}}}$

$\underline{\underline{d_{\min} = \sqrt{17}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først likningen for linjen $\ell$ gjennom $A(4, -2)$ og $B(6, 6)$ .

Retningsvektor: $\overrightarrow{AB} = (6-4,\, 6-(-2)) = (2, 8)$

Normalvektor: $\vec{n} = (8, -2)$ , forenklet $(4, -1)$

Linjelikning: $4(x - 4) - 1(y - (-2)) = 0$ , som gir

4x - y - 18 = 0

Avstandsformelen fra et punkt $(x_0, y_0)$ til linjen $ax + by + c = 0$ :

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

For $P(2, 8)$ og linjen $4x - y - 18 = 0$ :

d = \frac{|4 \cdot 2 - 8 - 18|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-18|}{\sqrt{17}} = \frac{18}{\sqrt{17}} = \frac{18\sqrt{17}}{17}

Se linjene 3–5 i GeoGebra CAS-utklippet.

Avstanden fra $P(2, 8)$ til $\ell$ er $\underline{\underline{\dfrac{18\sqrt{17}}{17} \approx 4{,}37}}$ .

Et punkt på grafen til $f$ har koordinatene $(x,\, x^2 + 2x)$ . Avstanden fra dette punktet til linjen $4x - y - 18 = 0$ er

d(x) = \frac{|4x - (x^2 + 2x) - 18|}{\sqrt{17}} = \frac{|{-x^2 + 2x - 18}|}{\sqrt{17}} = \frac{x^2 - 2x + 18}{\sqrt{17}}

(Telleren $x^2 - 2x + 18 = (x-1)^2 + 17 > 0$ alltid, så absoluttverditegnet fjernes.)

Vi minimerer $d(x)$ ved å derivere telleren og sette den lik null:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2 - 2x + 18) = 2x - 2 = 0 \implies x = 1

Se linjene 7–8 i CAS-utklippet (se Derivert og Løs).

Minimumsavstanden:

d_{\min} = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 + 18}{\sqrt{17}} = \frac{17}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}

GeoGebra CAS

Den minste avstanden mellom grafen til $f$ og linjen $\ell$ er $\underline{\underline{\sqrt{17} \approx 4{,}12}}$ .

Oppgavedata

Temaer: vektorer, geometri, optimering, derivasjon
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon