Avisabonnenter og eksponentialfunksjon

Funksjonen $P$ gitt ved

P (x) = 3600 \cdot {0,85}^{x} + 600

er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

For hånd

Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, P (4))$ og $(14, P (14))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.

Krever PC

Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?

Fasit

$P (0) = 4 200$ abonnenter i 2010

Stigningstall $\approx - 150,9$ – gjennomsnittlig nedgang på ca. 151 papirabonnenter per år mellom 2014 og 2024

2022

Løsningsforslag

Metode 1 – sett inn $x = 0$ :

P (0) = 3600 \cdot {0,85}^{0} + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = 4 200

Metode 2 – bruk at ${0,85}^{x} \to 0$ når $x \to \infty$ :

Modellen har 600 som nedre grense (bunnlinje). I 2010 var det 3600 abonnenter over bunnlinjen, altså $3600 + 600 = 4 200$ totalt.

Vi beregner funksjonsverdiene i de to punktene:

P (4) = 3600 \cdot {0,85}^{4} + 600 \approx 2 479

P (14) = 3600 \cdot {0,85}^{14} + 600 \approx 970

Stigningstallet til sekantlinjen:

a = \frac{P (14) - P (4)}{14 - 4} = \frac{970 - 2 479}{10} \approx - 150,9

Praktisk tolkning: Antallet papirabonnenter gikk i gjennomsnitt ned med ca. 151 personer per år i perioden fra 2014 til 2024.

Vi definerer funksjonen for digitale abonnenter, der $x$ er år etter 2010 (digitalt startet i 2019, altså ved $x = 9$ ):

D (x) = 1000 \cdot {1,055}^{x - 9}

Vi plotter $P (x)$ og $D (x)$ i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

GeoGebra-graf med år etter 2010 på x-aksen og abonnenter på y-aksen. Den synkende grafen til P(x) skjærer den voksende grafen til D(x) i punktet Skjaering = (11.58, 1148.18). Sekantlinjen sek(x) = −150.93x + 3082.94 går gjennom punktene A = (4, 2479.22) og B = (14, 969.97) på grafen til P.

Fra grafen (se Skjaering) skjærer kurvene hverandre ved $x \approx 11,6$ , det vil si i løpet av 2021. Vi sjekker ved helårsregnskap:

År	$x$	Digitalt $D (x)$	Papir $P (x)$
2021	11	$\approx 1 113$	$\approx 1 202$
2022	12	$\approx 1 174$	$\approx 1 112$

For første gang i $2022$ var det flere digitale enn papirabonnenter.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver framgangsmåte som fører fram til riktig svar.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet.

For få uttelling for praktisk tolkning av stigningstallet, må det gå tydelig fram at det er gjennomsnittlig nedgang i abonnenter per år.

En kandidat som regner med 1000 abonnenter i 2010, kan få 1 poeng.

En kandidat som regner ut verdier år for år og konkluderer riktig, får full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2024, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Stigningstall, Geometrisk vekst
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Avisabonnenter og eksponentialfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Avisabonnenter og eksponentialfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Avisabonnenter og eksponentialfunksjon

Avisabonnenter og eksponentialfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer