Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = - x e^{- x^{2}}, D_{f} = ℝ

Nedenfor ser du grafen til $f$ og grafen til den deriverte funksjonen $f^{'}$ .

Graf av f og f'

Avgjør om påstandene A, B og C nedenfor er sanne. Begrunn svarene dine.

A: $f (x) > 0 ⟺ x \in ⟨ \leftarrow, - \frac{1}{\sqrt{2}}]$

B: $f^{''} (x) = 0 ⟺ x = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \lor x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

C: $f^{'} (x) > 0 ⟸ f^{''} (x) < 0$

Fasit

A: $Usann$ B: $Usann$ C: $Usann$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først uttrykk for $f^{'} (x)$ og $f^{''} (x)$ ved derivasjon, siden dette gjør det enklere å begrunne påstandene presist (i tillegg til å lese av grafene).

Med $f (x) = - x e^{- x^{2}}$ bruker vi produktregelen og kjerneregelen:

f^{'} (x) = - e^{- x^{2}} + (- x) \cdot (- 2 x) e^{- x^{2}} = e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1)

Vi deriverer $f^{'} (x) = e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1)$ på nytt med produktregelen:

f^{''} (x) = - 2 x e^{- x^{2}} \cdot (2 x^{2} - 1) + e^{- x^{2}} \cdot 4 x = e^{- x^{2}} (- 4 x^{3} + 2 x + 4 x) = e^{- x^{2}} (- 4 x^{3} + 6 x)

Vi kan skrive dette som $f^{''} (x) = 2 x e^{- x^{2}} (3 - 2 x^{2})$ .

Siden $e^{- x^{2}} > 0$ for alle $x$ , avhenger fortegnet til $f (x) = - x e^{- x^{2}}$ kun av $- x$ . Dermed er

f (x) > 0 ⟺ x < 0

Påstand A sier at $f (x) > 0 ⟺ x \in ⟨ \leftarrow, - \frac{1}{\sqrt{2}}]$ , altså at grensen er $x = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Dette stemmer ikke med grensen $x = 0$ vi har funnet. Påstand A er usann.

Vi løser $f^{''} (x) = 0$ :

2 x e^{- x^{2}} (3 - 2 x^{2}) = 0 ⟺ x = 0 \lor x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

Ligningen $f^{''} (x) = 0$ har altså tre løsninger: $x = 0$ , $x = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ og $x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ . Påstand B nevner bare de to siste, og utelater $x = 0$ . Siden “hvis og bare hvis” krever at alle løsninger er med, er påstand B usann.

Vi undersøker om $f^{''} (x) < 0 ⟹ f^{'} (x) > 0$ . Fortegnsanalyse av $f^{''} (x) = 2 x e^{- x^{2}} (3 - 2 x^{2})$ viser at $f^{''} (x) < 0$ på intervallene $⟨ - \sqrt{\frac{3}{2}}, 0 ⟩$ og $⟨ \sqrt{\frac{3}{2}}, \to ⟩$ .

Vi tester et punkt i det første intervallet, for eksempel $x = - 0,3$ :

f^{''} (- 0,3) \approx - 1,55 < 0 men f^{'} (- 0,3) \approx - 0,75 < 0

Her er $f^{''} (x) < 0$ , men $f^{'} (x)$ er ikke positiv. Implikasjonen $f^{'} (x) > 0 ⟸ f^{''} (x) < 0$ stemmer altså ikke for alle $x$ . Påstand C er usann.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf

Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf

Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf

Lov på eksamen

Temaer