Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke

Del 1 · oppgave 3
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke

Bestem summen av den aritmetiske rekken

−8−3+2+7+⋯+987-8 - 3 + 2 + 7 + \cdots + 987

Begrunn at den uendelige geometriske rekken nedenfor konvergerer, og bestem summen av rekken

80−20+5−54+⋯80 - 20 + 5 - \frac{5}{4} + \cdots
Fasit

s200=97 900s_{200} = 97\,900

s=64s = 64

LøsningsforslagKI-generert

Vi har en aritmetisk rekke med a1=−8a_1 = -8 og differanse d=−3−(−8)=5d = -3 - (-8) = 5.

Vi finner antall ledd nn:

an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d 987=−8+(n−1)⋅5987 = -8 + (n-1) \cdot 5 995=(n−1)⋅5995 = (n-1) \cdot 5 n−1=199  ⟹  n=200n - 1 = 199 \implies n = 200

Vi bruker summeformelen:

sn=a1+an2⋅n=−8+9872⋅200=9792⋅200s_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-8 + 987}{2} \cdot 200 = \frac{979}{2} \cdot 200 s200=97 900‾‾\underline{\underline{s_{200} = 97\,900}}

Vi har en geometrisk rekke med a1=80a_1 = 80 og kvotient

k=−2080=−14k = \frac{-20}{80} = -\frac{1}{4}

Siden ∣k∣=14<1|k| = \dfrac{1}{4} < 1, konvergerer rekken.

Summen av en uendelig geometrisk rekke er

s=a11−k=801−(−14)=8054=80⋅45s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{80}{1 - \left(-\dfrac{1}{4}\right)} = \frac{80}{\dfrac{5}{4}} = 80 \cdot \frac{4}{5} s=64‾‾\underline{\underline{s = 64}}
Oppgavedata
Poeng
4
Temaer
rekker, uendelig rekke
Kompetansemål
  • Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker