Aritmetisk rekke og figurtall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk sumformelen for en aritmetisk rekke til å finne et uttrykk for summen

1 + 2 + 3 + \dots + n

Vis hvordan du kan argumentere for resultatet i oppgave a) ved å bruke figuren nedenfor.

Figurtall med røde og grå kuler

Fasit

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$

Figuren viser et rektangel med $n$ rader og $n + 1$ kolonner. De røde kulene utgjør summen $1 + 2 + \dots + n$ , og de grå kulene er en speilvendt kopi av det samme. Til sammen fyller de hele rektangelet med $n (n + 1)$ kuler, så $1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $1 + 2 + 3 + \dots + n$ er en aritmetisk rekke med

a_{1} = 1, a_{n} = n, og n ledd.

Sumformelen for en aritmetisk rekke er

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Vi setter inn:

S_{n} = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n (n + 1)}{2}

Figuren viser et rektangel med $n$ rader og $n + 1$ kolonner, totalt $n (n + 1)$ kuler.

En trappelinje deler rektangelet i to like store deler:

De røde kulene danner et trappemønster der rad 1 har 1 kule, rad 2 har 2 kuler, …, rad $n$ har $n$ kuler. Antall røde kuler er $1 + 2 + 3 + \dots + n$ .
De grå kulene er en speilvendt kopi av de røde og har nøyaktig like mange kuler.

Siden røde og grå kuler til sammen fyller hele rektangelet, har vi

2 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + n) = n (n + 1)

og dermed

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

Dette stemmer med svaret i oppgave a).

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2016, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rekker, Figurtall, Argumentasjon

Aritmetisk rekke og figurtall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Aritmetisk rekke og figurtall

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Aritmetisk rekke og figurtall

Aritmetisk rekke og figurtall

Lov på eksamen

Temaer