Aritmetisk rekke med to ukjente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt en aritmetisk rekke $s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ .

Bestem $s_{100}$ dersom $a_{3} = 8$ og $a_{23} = 68$ .

Bestem $s_{20}$ dersom $a_{2} = a_{1} + 4$ og $s_{10} = 240$ .

Fasit

$s_{100} = 15050$

$s_{20} = 880$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ . Vi setter opp likninger for $a_{3}$ og $a_{23}$ :

a_{3} = a_{1} + 2 d = 8

a_{23} = a_{1} + 22 d = 68

Vi trekker den første likningen fra den andre:

20 d = 60 \Rightarrow d = 3

Vi setter $d = 3$ inn i $a_{1} + 2 d = 8$ :

a_{1} = 8 - 2 \cdot 3 = 2

Vi finner $a_{100}$ :

a_{100} = a_{1} + 99 d = 2 + 99 \cdot 3 = 299

Summen av de $100$ første leddene blir

s_{100} = \frac{a_{1} + a_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{2 + 299}{2} \cdot 100 = 15050

Vi vet at $a_{2} = a_{1} + 4$ . Siden $a_{2} = a_{1} + d$ , må $d = 4$ .

Summen av de $10$ første leddene er

s_{10} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d) = \frac{10}{2} (2 a_{1} + 9 \cdot 4) = 240

Vi løser for $a_{1}$ :

5 (2 a_{1} + 36) = 240

2 a_{1} + 36 = 48

a_{1} = 6

Summen av de $20$ første leddene blir da

s_{20} = \frac{20}{2} (2 a_{1} + 19 d) = 10 (2 \cdot 6 + 19 \cdot 4) = 10 \cdot 88 = 880

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2022, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker

Innstillinger