Aritmetisk rekke med sumformel

En aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$ har sum $S_n = 2n^2 + n$ .

Bestem $a_1$ og $a_{10}$ .

Bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$ .

Bestem summen av rekken når $a_n = 399$ .

Fasit

$a_1 = 3$ , $a_{10} = 39$

$a_n = 4n - 1$

$S_{100} = 20\,100$

LøsningsforslagKI-generert

a_1 = S_1 = 2 \cdot 1^2 + 1 = \underline{\underline{3}}

a_{10} = S_{10} - S_9 = (2 \cdot 100 + 10) - (2 \cdot 81 + 9) = 210 - 171 = \underline{\underline{39}}

For $n \geq 2$ :

a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + n) - (2(n-1)^2 + (n-1))

= 2n^2 + n - 2n^2 + 4n - 2 - n + 1 = 4n - 1

Vi sjekker at formelen også gjelder for $n = 1$ : $a_1 = 4 \cdot 1 - 1 = 3$ ✓

\underline{\underline{a_n = 4n - 1}}

Vi finner $n$ når $a_n = 399$ :

4n - 1 = 399 \quad \Rightarrow \quad n = 100

S_{100} = 2 \cdot 100^2 + 100 = 20\,000 + 100 = \underline{\underline{20\,100}}

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker