Aritmetisk rekke med odde tall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rekke er gitt ved

S_{n} = 1 + 3 + 5 + 7 + \dots + a_{n}

Bestem $a_{16}$ og $S_{16}$ .

Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å finne et uttrykk for $a_{n}$ og $S_{n}$ .

Bestem hvor mange ledd rekken minst må ha for at $S_{n} > 400$ .

Fasit

$a_{16} = 31, S_{16} = 256$

$a_{n} = 2 n - 1, S_{n} = n^{2}$

$n = 21$

LøsningsforslagKI-generert

Leddene i rekken er $1, 3, 5, 7, \dots$ , altså de odde tallene. Vi ser at hvert ledd er $2$ mer enn det forrige, så $a_{1} = 1$ og $d = 2$ .

a_{16} = a_{1} + (16 - 1) \cdot d = 1 + 15 \cdot 2 = 31

S_{16} = \frac{a_{1} + a_{16}}{2} \cdot 16 = \frac{1 + 31}{2} \cdot 16 = 256

Differansen mellom to påfølgende ledd er konstant:

a_{n + 1} - a_{n} = (2 n + 1) - (2 n - 1) = 2

Siden differansen mellom hvert ledd er den samme ( $d = 2$ ) for alle $n$ , er rekken aritmetisk.

Med $a_{1} = 1$ og $d = 2$ blir

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n - 1

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{1 + (2 n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2 n}{2} \cdot n = n^{2}

Vi bruker uttrykket for $S_{n}$ fra b) og løser ulikheten $S_{n} > 400$ :

n^{2} > 400

n > \sqrt{400} = 20

Siden $n$ må være et positivt heltall, er minste $n$ som oppfyller ulikheten $n = 21$ .

Kontroll: $S_{20} = 20^{2} = 400$ (ikke større enn 400), mens $S_{21} = 21^{2} = 441 > 400$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2013, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Rekker, Tallfølger

Innstillinger