Aritmetisk rekke differanse og sum 84

I en aritmetisk rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ er $a_{1} = 3$ og $a_{6} = 18$ .

Bestem differansen $d$ , og bestem en formel for $a_{n}$ uttrykt ved $n$ .

Vis at summen av de $n$ første leddene kan skrives som

S_{n} = \frac{3}{2} n (n + 1)

Hvor mange ledd må vi ha med for at summen skal bli 84?

Fasit

$d = 3$ , $a_{n} = 3 n$

Se løsningsforslag.

$n = 7$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ . Vi setter inn $a_{1} = 3$ og $a_{6} = 18$ :

18 = 3 + (6 - 1) \cdot d

18 = 3 + 5 d

5 d = 15

d = 3

Differansen er $d = 3$ . Formelen for det $n$ -te leddet blir:

a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 3 = 3 + 3 n - 3 = 3 n

Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}

Vi setter inn $a_{1} = 3$ og $a_{n} = 3 n$ :

S_{n} = \frac{(3 + 3 n) \cdot n}{2} = \frac{3 (1 + n) \cdot n}{2} = \frac{3}{2} n (n + 1)

Dette er det vi skulle vise.

Vi setter $S_{n} = 84$ og bruker formelen fra b):

\frac{3}{2} n (n + 1) = 84

n (n + 1) = 56

n^{2} + n - 56 = 0

Vi bruker andregradsformelen med $a = 1$ , $b = 1$ , $c = - 56$ :

n = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{- 1 \pm 15}{2}

Dette gir $n = \frac{- 1 + 15}{2} = 7$ eller $n = \frac{- 1 - 15}{2} = - 8$ .

Siden $n$ må være et positivt heltall, er svaret $n = 7$ .

Vi må ha med 7 ledd for at summen skal bli 84.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2017, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker

Innstillinger