Aritmetisk rekke differanse og sum 84

I en aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$ er $a_1 = 3$ og $a_6 = 18$ .

Bestem differansen $d$ , og bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$ .

Vis at summen av de $n$ første leddene kan skrives som

S_n = \frac{3}{2} n(n+1)

Hvor mange ledd må vi ha med for at summen skal bli 84?

Fasit

$d = 3$ , $\underline{\underline{a_n = 3n}}$

Se løsningsforslag.

$\underline{\underline{n = 7}}$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ . Vi setter inn $a_1 = 3$ og $a_6 = 18$ :

18 = 3 + (6-1) \cdot d

18 = 3 + 5d

5d = 15

d = 3

Differansen er $\underline{\underline{d = 3}}$ . Formelen for det $n$ -te leddet blir:

a_n = 3 + (n-1) \cdot 3 = 3 + 3n - 3 = \underline{\underline{3n}}

Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved:

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

Vi setter inn $a_1 = 3$ og $a_n = 3n$ :

S_n = \frac{(3 + 3n) \cdot n}{2} = \frac{3(1 + n) \cdot n}{2} = \frac{3}{2} n(n+1)

Dette er det vi skulle vise.

Vi setter $S_n = 84$ og bruker formelen fra b):

\frac{3}{2} n(n+1) = 84

n(n+1) = 56

n^2 + n - 56 = 0

Vi bruker andregradsformelen med $a = 1$ , $b = 1$ , $c = -56$ :

n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2}

Dette gir $n = \dfrac{-1 + 15}{2} = 7$ eller $n = \dfrac{-1 - 15}{2} = -8$ .

Siden $n$ må være et positivt heltall, er svaret $\underline{\underline{n = 7}}$ .

Vi må ha med 7 ledd for at summen skal bli 84.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter