Aritmetisk og geometrisk rekke R2 H19

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem summen av den aritmetiske rekken

7 + 11 + \dots + 479 + 483

Den uendelige geometriske rekken $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ konvergerer. Du får vite at $a_{2} = 6$ og at summen av rekken er 24.

Bestem $a_{1}$ .

Fasit

$s_{120} = 29400$

$a_{1} = 12$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $7 + 11 + \dots + 479 + 483$ er aritmetisk med $a_{1} = 7$ og $d = 11 - 7 = 4$ .

Vi finner først antall ledd $n$ ved å bruke at det siste leddet er $a_{n} = 483$ :

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

483 = 7 + (n - 1) \cdot 4 \Rightarrow 476 = 4 (n - 1) \Rightarrow n - 1 = 119 \Rightarrow n = 120

Summen av de $120$ leddene blir da

s_{120} = \frac{a_{1} + a_{120}}{2} \cdot n = \frac{7 + 483}{2} \cdot 120 = 245 \cdot 120 = 29400

I en konvergerende geometrisk rekke er $a_{2} = a_{1} \cdot k$ og summen er $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ .

Fra $a_{2} = 6$ får vi $a_{1} \cdot k = 6$ , altså $a_{1} = \frac{6}{k}$ .

Vi setter dette inn i uttrykket for summen, som er lik $24$ :

\frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{\frac{6}{k}}{1 - k} = 24

6 = 24 k (1 - k)

24 k^{2} - 24 k + 6 = 0

Vi deler på $6$ :

4 k^{2} - 4 k + 1 = 0 \Rightarrow {(2 k - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}

Dermed er

a_{1} = \frac{6}{k} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12

Kontroll: $s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24$ , som stemmer.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Innstillinger