Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser

Del 1 · oppgave 3
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser

I en rekke a1+a2+⋯+ana_1 + a_2 + \cdots + a_n er a2=8a_2 = 8 og a4=2a_4 = 2.

Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.

Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.

Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.

Fasit

s6=21s_6 = 21

s6=632s_6 = \frac{63}{2} eller s6=−212s_6 = -\frac{21}{2}

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d. Vi har:

a2=a1+d=8oga4=a1+3d=2a_2 = a_1 + d = 8 \quad \text{og} \quad a_4 = a_1 + 3d = 2

Vi trekker den første fra den andre:

2d=2−8=−6  ⟹  d=−32d = 2 - 8 = -6 \implies d = -3 a1=8−(−3)=11a_1 = 8 - (-3) = 11

Summen av de seks første leddene:

s6=62(2⋅11+5⋅(−3))=3(22−15)=21‾‾s_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot 11 + 5 \cdot (-3)) = 3(22 - 15) = \underline{\underline{21}}

I en geometrisk rekke er an=a1⋅kn−1a_n = a_1 \cdot k^{n-1}. Vi har:

a2=a1k=8oga4=a1k3=2a_2 = a_1 k = 8 \quad \text{og} \quad a_4 = a_1 k^3 = 2

Vi deler:

a4a2=k2=28=14  ⟹  k=±12\frac{a_4}{a_2} = k^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies k = \pm \frac{1}{2}

Tilfelle 1: k=12k = \frac{1}{2}, da er a1=81/2=16a_1 = \frac{8}{1/2} = 16

s6=16⋅1−(1/2)61−1/2=16⋅1−1/641/2=16⋅63/641/2=16⋅6332=632‾‾s_6 = 16 \cdot \frac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = 16 \cdot \frac{1 - 1/64}{1/2} = 16 \cdot \frac{63/64}{1/2} = 16 \cdot \frac{63}{32} = \underline{\underline{\frac{63}{2}}}

Tilfelle 2: k=−12k = -\frac{1}{2}, da er a1=8−1/2=−16a_1 = \frac{8}{-1/2} = -16

s6=−16⋅1−(−1/2)61−(−1/2)=−16⋅1−1/643/2=−16⋅63/643/2=−16⋅6396=−212‾‾s_6 = -16 \cdot \frac{1 - (-1/2)^6}{1 - (-1/2)} = -16 \cdot \frac{1 - 1/64}{3/2} = -16 \cdot \frac{63/64}{3/2} = -16 \cdot \frac{63}{96} = \underline{\underline{-\frac{21}{2}}}
Oppgavedata
Poeng
4
Temaer
rekker
Kompetansemål
  • Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker