Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser

I en rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er $a_2 = 8$ og $a_4 = 2$ .

Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.

Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.

Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.

Fasit

$s_6 = 21$

$s_6 = \frac{63}{2}$ eller $s_6 = -\frac{21}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er $a_n = a_1 + (n-1)d$ . Vi har:

a_2 = a_1 + d = 8 \quad \text{og} \quad a_4 = a_1 + 3d = 2

Vi trekker den første fra den andre:

2d = 2 - 8 = -6 \implies d = -3

a_1 = 8 - (-3) = 11

Summen av de seks første leddene:

s_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot 11 + 5 \cdot (-3)) = 3(22 - 15) = \underline{\underline{21}}

I en geometrisk rekke er $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ . Vi har:

a_2 = a_1 k = 8 \quad \text{og} \quad a_4 = a_1 k^3 = 2

Vi deler:

\frac{a_4}{a_2} = k^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies k = \pm \frac{1}{2}

Tilfelle 1: $k = \frac{1}{2}$ , da er $a_1 = \frac{8}{1/2} = 16$

s_6 = 16 \cdot \frac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = 16 \cdot \frac{1 - 1/64}{1/2} = 16 \cdot \frac{63/64}{1/2} = 16 \cdot \frac{63}{32} = \underline{\underline{\frac{63}{2}}}

Tilfelle 2: $k = -\frac{1}{2}$ , da er $a_1 = \frac{8}{-1/2} = -16$

s_6 = -16 \cdot \frac{1 - (-1/2)^6}{1 - (-1/2)} = -16 \cdot \frac{1 - 1/64}{3/2} = -16 \cdot \frac{63/64}{3/2} = -16 \cdot \frac{63}{96} = \underline{\underline{-\frac{21}{2}}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2022, del 1, oppgave 3
Poeng: 4
Temaer: rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker