Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \sqrt{x^{2} - x^{4}}

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

For hånd

Bruk CAS til å bestemme de eksakte koordinatene til toppunktene på grafen til $f$ .

Kalkulator

Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av grafen til $f$ og $x$ -aksen.

Grafen til $f$ roteres $360 °$ om $x$ -aksen.

Kalkulator

Bestem volumet av omdreiningslegemet som da framkommer.

Fasit

Se graf.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) og (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})$

$A = \frac{2}{3}$

$V = \frac{4 π}{15}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer $f (x) = \sqrt{x^{2} - x^{4}}$ i graftegner. Funksjonsuttrykket under rottegnet må være ikke-negativt: $x^{2} - x^{4} = x^{2} (1 - x^{2}) \geq 0$ , som gir $- 1 \leq x \leq 1$ . Grafen finnes altså kun for $x \in [- 1, 1]$ :

Graf til f med toppunktene markert

Grafen viser to «topper» symmetrisk om $y$ -aksen, med et bunnpunkt i origo.

Siden $f (x) = \sqrt{x^{2} (1 - x^{2})} = | x | \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$ , er $f$ en like funksjon ( $f (- x) = f (x)$ ). Det holder derfor å finne toppunktet for $x \in [0, 1]$ , der $f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$ , og speile om $y$ -aksen.

Vi deriverer $h (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$ med produktregelen:

h^{'} (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x \cdot \frac{- x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{1 - x^{2} - x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{1 - 2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Ekstremalpunkt der $h^{'} (x) = 0$ :

1 - 2 x^{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2}

(vi forkaster $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ siden vi ser på $x \in [0,1]$ ).

h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}

GeoGebra bekrefter dette numerisk (punktene $A$ og $B$ på grafen over):

CAS: areal og volum

Siden $f$ er like, er $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})$ også et toppunkt. Grafen til $f$ har altså toppunktene

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) og (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})

Fra grafen ser vi at $f (x) \geq 0$ for alle $x$ i definisjonsmengden, og at grafen berører $x$ -aksen kun i $x = - 1$ , $x = 0$ og $x = 1$ . Det samlede arealet mellom grafen og $x$ -aksen er derfor rett og slett det bestemte integralet av $f$ fra $- 1$ til $1$ — vi trenger ikke dele opp i flere delintegral med fortegnsskifte:

A = \int_{- 1}^{1} \sqrt{x^{2} - x^{4}} d x

Beregnet i CAS (se Areal i utklippet over):

A = \frac{2}{3}

Når grafen til $f$ roteres $360 °$ om $x$ -aksen, er volumet av omdreiningslegemet gitt ved

V = π \int_{- 1}^{1} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{- 1}^{1} (x^{2} - x^{4}) d x

Beregnet i CAS (se Volum i utklippet over):

V = \frac{4 π}{15}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2016, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Omdreiningslegeme, Areal under graf, CAS, Funksjonsdrøfting

Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon

Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer