Areal og omdreiningslegeme for 1 over x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{1}{x}, x \geq 1

Flatestykket $F$ er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen, linjen $x = 1$ og linjen $x = k$ , der $k > 1$ .

Bestem $k$ slik at arealet av $F$ blir $2$ .

Dersom vi dreier $F$ $360 °$ om $x$ -aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum $V$ .

Bestem $V$ når $k = 4$ .

Fasit

$k = e^{2}$

$V = \frac{3 π}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Arealet av flatestykket $F$ er gitt ved integralet av $f$ fra $1$ til $k$ :

\int_{1}^{k} \frac{1}{x} d x = {[\ln x]}_{1}^{k} = \ln k - \ln 1 = \ln k

Vi setter arealet lik $2$ :

\ln k = 2 \Rightarrow k = e^{2}

Volumet av omdreiningslegemet når $F$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen er gitt ved

V = π \int_{1}^{4} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x

Vi finner en antiderivert til $\frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$ :

\int x^{- 2} d x = - x^{- 1} + C = - \frac{1}{x} + C

Setter inn grensene:

V = π {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{4} = π (- \frac{1}{4} - (- \frac{1}{1})) = π (- \frac{1}{4} + 1) = π \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 π}{4}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2022, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme

Innstillinger