Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \sin x, x \in [0, π]

Et flatestykke er avgrenset av $x$ -aksen og grafen til $f$ .

Regn ut arealet av flatestykket.

Vis ved derivasjon at $\int \sin^{2} x d x = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x \cdot \cos x + C$

Vi roterer flatestykket $360 °$ om $x$ -aksen.

Regn ut volumet av omdreiningslegemet vi da får.

Fasit

$A = 2$

Vist ved derivasjon.

$V = \frac{π^{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Arealet er gitt ved det bestemte integralet av $f (x) = \sin x$ fra $0$ til $π$ .

A = \int_{0}^{π} \sin x d x = {[- \cos x]}_{0}^{π} = - \cos π - (- \cos 0) = - (- 1) + 1 = 2

Vi deriverer uttrykket $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x \cdot \cos x + C$ og viser at vi får $\sin^{2} x$ . Vi bruker produktregelen på leddet $\sin x \cdot \cos x$ :

\frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x \cos x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (- \sin x))

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (\cos^{2} x - \sin^{2} x)

Vi setter inn $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ :

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - \sin^{2} x - \sin^{2} x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \sin^{2} x = \sin^{2} x

Dette viser at $\int \sin^{2} x d x = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x \cos x + C$ .

Volumet av omdreiningslegemet når flatestykket roteres $360 °$ om $x$ -aksen er gitt ved

V = π \int_{0}^{π} {(\sin x)}^{2} d x = π \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x

Vi bruker antideriverten fra b):

V = π {[\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x \cos x]}_{0}^{π} = π ((\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin π \cos π) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0 \cos 0))

= π (\frac{π}{2} - 0 - 0) = \frac{π^{2}}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2016, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Areal under graf, Omdreiningslegeme, Bevis

Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon

Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon

Lov på eksamen

Temaer