Areal mellom parabel og korde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2}

Punktene $A (a, a^{2})$ og $B (b, b^{2})$ der $a < b$ , ligger på grafen til $f$ . Se figur 1 nedenfor.

Figur 1: parabel med korde AB og flatestykke T

For hånd

Grafen til $f$ og linjestykket $A B$ avgrenser et flatestykke med areal $T$ . Bruk CAS til å bestemme $T$ uttrykt ved $a$ og $b$ .

Punktet $C$ på grafen har koordinatene $(c, c^{2})$ , der $c = \frac{a + b}{2}$ . Se figur 2 nedenfor.

Figur 2: parabel med trekant ACB og areal S

For hånd

Bruk CAS til å vise at arealet $S$ av $△ A C B$ er $S = \frac{1}{8} {(b - a)}^{3}$ .

For hånd

Bestem forholdet $\frac{T}{S}$ .

Fasit

$T = \frac{{(b - a)}^{3}}{6}$

$S = \frac{1}{8} {(b - a)}^{3}$

$\frac{T}{S} = \frac{4}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å regne symbolsk med $a$ og $b$ .

CAS-utregning

Korden $A B$ går gjennom $A (a, a^{2})$ og $B (b, b^{2})$ . Vi definerer linja (linje 2 i CAS)

korde (x) = (a + b) x - a b

Arealet $T$ mellom grafen og korden er integralet av differansen $korde (x) - f (x)$ fra $a$ til $b$ (linje 3):

T = \int_{a}^{b} [(a + b) x - a b - x^{2}] d x = \frac{- {(a - b)}^{3}}{6}

Siden $a < b$ er ${(a - b)}^{3} < 0$ , så $- {(a - b)}^{3} = {(b - a)}^{3} > 0$ . Dermed

T = \frac{{(b - a)}^{3}}{6}

Punktet $C$ har $x$ -koordinat $c = \frac{a + b}{2}$ (linje 4), altså $C (c, c^{2})$ . Arealet av trekanten $A C B$ regnes med kryssproduktformelen

S = \frac{1}{2} | (b - a) (c^{2} - a^{2}) - (c - a) (b^{2} - a^{2}) |

CAS forenkler dette (linje 5) til

S = \frac{1}{8} | a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} | = \frac{1}{8} | {(a - b)}^{3} |

Siden $a < b$ er ${(a - b)}^{3} < 0$ , så $| {(a - b)}^{3} | = {(b - a)}^{3}$ . Dermed er

S = \frac{1}{8} {(b - a)}^{3}

akkurat slik oppgaven ber om at vi viser.

Forholdet mellom arealene blir (linje 6, med $| {(a - b)}^{3} | = {(b - a)}^{3}$ satt inn):

\frac{T}{S} = \frac{\frac{{(b - a)}^{3}}{6}}{\frac{{(b - a)}^{3}}{8}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

\frac{T}{S} = \frac{4}{3}

Forholdet er altså konstant — det er uavhengig av verdiene til $a$ og $b$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2016, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Areal mellom grafer, CAS, Andregradsfunksjon

Areal mellom parabel og korde

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal mellom parabel og korde

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal mellom parabel og korde

Areal mellom parabel og korde

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer