Koordinatsystem og betingelser

Vi plasserer kvadratet med hjørner i $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ og $(0,1)$.

Sirkelen er tangent til sidekantene $x = 1$ og $y = 1$, og passerer gjennom hjørnet $(0,0)$.

Fordi sirkelen er tangent til $x = 1$ og $y = 1$, må sentrum ligge like langt fra begge disse sidekantene. Med radius $r$ er sentrum

$$M = (1-r,\; 1-r).$$

Beregne radius

Sirkelen passerer gjennom $(0,0)$, så avstanden fra sentrum til dette punktet er lik $r$:

$$\sqrt{(1-r)^2 + (1-r)^2} = r$$ $$\sqrt{2}\,(1-r) = r$$ $$\sqrt{2} - \sqrt{2}\,r = r$$ $$\sqrt{2} = r(1 + \sqrt{2})$$ $$r = \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - \sqrt{2}}{1} = 2 - \sqrt{2}$$

Sentrum er $M = (\sqrt{2}-1,\; \sqrt{2}-1)$ og $r = 2 - \sqrt{2}$.

Sirkelens areal

$$r^2 = (2-\sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}$$ $$A_{\text{sirkel}} = \pi r^2 = \pi(6 - 4\sqrt{2})$$

Skjæringspunkter med sidekantene

Av symmetri om linjen $y = x$ er det nok å finne hvor sirkelen krysser $y = 0$.

Vi setter $y = 0$ i sirkelligningen $(x - (\sqrt{2}-1))^2 + (\sqrt{2}-1)^2 = (2-\sqrt{2})^2$:

$$\bigl(x - (\sqrt{2}-1)\bigr)^2 = (2-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2}-1)^2$$ $$(2-\sqrt{2})^2 = 6 - 4\sqrt{2}, \qquad (\sqrt{2}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$$ $$\bigl(x - (\sqrt{2}-1)\bigr)^2 = (6 - 4\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$$ $$x = (\sqrt{2}-1) \pm (\sqrt{2}-1)$$

Skjæringspunktene er $(0,\,0)$ og $(2(\sqrt{2}-1),\, 0)$.

Ved symmetri krysser sirkelen $x = 0$ i $(0,\,0)$ og $(0,\,2(\sqrt{2}-1))$.

Sentralvinkelen for hvert sirkelsegment

Vi ser på segmentet som skjæres av $y = 0$ (under $x$-aksen). Vektorene fra sentrum $M = (\sqrt{2}-1,\, \sqrt{2}-1)$ til de to skjæringspunktene er:

$$\vec{v}_1 = (0,0) - M = (-(\sqrt{2}-1),\; -(\sqrt{2}-1))$$ $$\vec{v}_2 = (2(\sqrt{2}-1),\,0) - M = (\sqrt{2}-1,\; -(\sqrt{2}-1))$$

Disse to vektorene er ortogonale ($\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = -(\sqrt{2}-1)^2 + (\sqrt{2}-1)^2 = 0$), så sentralvinkelen er

$$\theta = \frac{\pi}{2}.$$

Areal av ett sirkelsegment

Formelen for et sirkelsegment med sentralvinkel $\theta$ er $\frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$:

$$A_{\text{segment}} = \frac{1}{2}r^2\!\left(\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}(6-4\sqrt{2})\!\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)$$

Areal av sirkelen utenfor kvadratet

Det er to symmetriske segmenter (ett under $y = 0$, ett til venstre for $x = 0$):

$$A_{\text{sirkel utenfor}} = 2 \cdot \frac{1}{2}(6-4\sqrt{2})\!\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = (6-4\sqrt{2})\!\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)$$

Areal av sirkelen innenfor kvadratet

$$A_{\text{sirkel innenfor}} = A_{\text{sirkel}} - A_{\text{sirkel utenfor}}$$ $$= \pi(6-4\sqrt{2}) - (6-4\sqrt{2})\!\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$$ $$= (6-4\sqrt{2})\!\left[\pi - \frac{\pi}{2} + 1\right] = (6-4\sqrt{2})\!\left(\frac{\pi}{2} + 1\right)$$

Det fargede arealet (symmetrisk differanse)

Det fargede området er de delene som tilhører enten sirkelen eller kvadratet, men ikke begge:

$$A_{\text{farget}} = A_{\text{sirkel utenfor kvadrat}} + A_{\text{kvadrat utenfor sirkel}}$$ $$= A_{\text{sirkel utenfor}} + \bigl(1 - A_{\text{sirkel innenfor}}\bigr)$$ $$= (6-4\sqrt{2})\!\left(\frac{\pi}{2}-1\right) + 1 - (6-4\sqrt{2})\!\left(\frac{\pi}{2}+1\right)$$ $$= (6-4\sqrt{2})\!\left[\left(\frac{\pi}{2}-1\right) - \left(\frac{\pi}{2}+1\right)\right] + 1$$ $$= (6-4\sqrt{2})(-2) + 1$$ $$= -12 + 8\sqrt{2} + 1$$ $$= \mathbf{\underline{\underline{8\sqrt{2} - 11 \approx 0{,}31 \,\mathrm{m}^2}}}$$