Koordinatsystem og betingelser

Vi plasserer kvadratet med hjørner i $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{1,0})$, $(\mathrm{1,1})$ og $(\mathrm{0,1})$.

Sirkelen er tangent til sidekantene $x=1$ og $y=1$, og passerer gjennom hjørnet $(\mathrm{0,0})$.

Fordi sirkelen er tangent til $x=1$ og $y=1$, må sentrum ligge like langt fra begge disse sidekantene. Med radius $r$ er sentrum

Beregne radius

Sirkelen passerer gjennom $(\mathrm{0,0})$, så avstanden fra sentrum til dette punktet er lik $r$:

Sentrum er $M=(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1)$ og $r=2-\sqrt{2}$.

Sirkelens areal

Skjæringspunkter med sidekantene

Av symmetri om linjen $y=x$ er det nok å finne hvor sirkelen krysser $y=0$.

Vi setter $y=0$ i sirkelligningen ${(x-(\sqrt{2}-1))}^2+{(\sqrt{2}-1)}^2={(2-\sqrt{2})}^2$:

Skjæringspunktene er $(0,0)$ og $(2(\sqrt{2}-1),0)$.

Ved symmetri krysser sirkelen $x=0$ i $(0,0)$ og $(0,2(\sqrt{2}-1))$.

Sentralvinkelen for hvert sirkelsegment

Vi ser på segmentet som skjæres av $y=0$ (under $x$-aksen). Vektorene fra sentrum $M=(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1)$ til de to skjæringspunktene er:

Disse to vektorene er ortogonale (${\overrightarrow{v}}_1\cdot {\overrightarrow{v}}_2=-{(\sqrt{2}-1)}^2+{(\sqrt{2}-1)}^2=0$), så sentralvinkelen er

Areal av ett sirkelsegment

Formelen for et sirkelsegment med sentralvinkel $\theta$ er $\frac{1}{2}{r}^2(\theta -\sin \theta )$:

Areal av sirkelen utenfor kvadratet

Det er to symmetriske segmenter (ett under $y=0$, ett til venstre for $x=0$):

Areal av sirkelen innenfor kvadratet

Det fargede arealet (symmetrisk differanse)

Det fargede området er de delene som tilhører enten sirkelen eller kvadratet, men ikke begge: