For å finne arealet av det L-formede huset, tenker vi oss at figuren blir fylt ut til et komplett rektangel.

Det store rektangelet får bredde $2a+a=3a$ og høyde $10$, altså areal

Biten som mangler øverst til venstre er et rektangel med bredde $2a$ og høyde $a$, altså areal

Arealet av huset er da det store rektangelet minus den manglende biten:

som er det vi skulle vise.

Når $a=5$, setter vi inn i uttrykket:

$\underline{\underline{A(5)=100{\mathrm{m}}^2}}$

Vi skal løse likningen

Vi ordner likningen slik at høyresiden blir $0$:

Vi deler alle ledd på $-2$:

Bruker abc-formelen med $a=1$, $b=-15$, $c=56$:

Dette gir

Arealet av huset er $112{\mathrm{m}}^2$ når $\underline{\underline{a=7\mathrm{m}\text{eller}a=8\mathrm{m}}}$.

Arealfunksjonen $A(a)=30a-2a^2$ er en andregradsfunksjon med negativ ledende koeffisient, så grafen er en parabel med toppunkt som gir det største arealet.

Toppunktet ligger ved

Vi setter $a=\mathrm{7,5}$ inn i uttrykket for arealet:

For at huset skal gi mening geometrisk, må den venstre, korte siden ($10-a$) være positiv, så $a$ må ligge mellom $0$ og $10$. Siden $a=\mathrm{7,5}$ ligger i dette intervallet, er verdien mulig for huset.

Det største arealet huset kan ha, er $\underline{\underline{\mathrm{112,5}{\mathrm{m}}^2}}$, når $a=\mathrm{7,5}\mathrm{m}$.

Vi skal løse ulikheten

Vi flytter alt over på venstre side:

Vi deler alle ledd på $-2$ og snur ulikhetstegnet:

Vi finner først nullpunktene med abc-formelen, $a=1$, $b=-15$, $c=36$:

Dette gir $a=3$ eller $a=12$.

Siden andregradsuttrykket $a^2-15a+36$ har positiv ledende koeffisient, er uttrykket negativt (ulikheten $<0$) mellom nullpunktene:

Fra oppgave c) vet vi i tillegg at $a$ må ligge mellom $0$ og $10$ for at huset skal gi mening geometrisk. Vi kombinerer betingelsene:

$\underline{\underline{3\mathrm{m}<a<10\mathrm{m}}}$