Areal av firkant med trigonometri

Figur med firkant ABCD

Gitt figuren ovenfor.

Gjør beregninger og vis at $AC = 3$ .

Bestem arealet av firkanten $ABCD$ . Gi svaret eksakt.

Fasit

Vis ved beregning

$\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

I trekant $ADC$ : $\angle D = 120\degree$ , $\angle DCA = 30\degree$ , $DC = \sqrt{3}$ .

$\angle DAC = 180\degree - 120\degree - 30\degree = 30\degree$

Sinussetningen: $\dfrac{AC}{\sin 120\degree} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sin 30\degree} \implies AC = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 \qquad \square$

Areal av $ADC$ : Siden $\angle DAC = \angle DCA = 30\degree$ er $AD = DC = \sqrt{3}$ .

T_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 120\degree = \frac{3\sqrt{3}}{4}

Areal av $ABC$ : $BC = \sqrt{6}$ , $AC = 3$ , $\angle BAC = 45\degree$ .

\sin(\angle ABC) = \frac{AC \cdot \sin 45\degree}{BC} = \frac{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \angle ABC = 60\degree

$\angle ACB = 180\degree - 45\degree - 60\degree = 75\degree$

T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 3 \cdot \sin 75\degree = \frac{3\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4}

Totalt:

T_{ABCD} = \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4} = \underline{\underline{\frac{9 + 6\sqrt{3}}{4}}}

Sensorveiledning

2,5 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2,5 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver trigonometrisk setning som er brukt på en riktig måte. For å få full uttelling, må kandidaten legge sammen arealene av de to trekantene og gi svaret eksakt.

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: geometri, trigonometri
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga