Vi setter $a=6$ inn i likningssystemet:

1) Ved regning

Fra den andre likningen løser vi for $y$:

Vi setter dette inn i den første likningen:

Dette gir $x=0$ eller $x=6$. Vi setter tilbake i $y=2x+3$:

• $x=0\Rightarrow y=3$
• $x=6\Rightarrow y=15$

Løsningene av likningssystemet er dermed $(x,y)=(\mathrm{0,3})$ og $(x,y)=(\mathrm{6,15})$.

Kontroll i CAS:

2) Grafisk

Vi skriver om den første likningen til $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+3$ og den andre til $g(x)=2x+3$, og tegner grafene:

Grafene skjærer hverandre i punktene $(\mathrm{0,3})$ og $(\mathrm{6,15})$, samme svar som ved regning.

Vi setter $x=1$ og $y=5$ inn i den første likningen og løser for $a$:

(Se linje 2 i CAS-utklippet over.) Vi sjekker at $(\mathrm{1,5})$ også oppfyller den andre likningen: $y-2x=5-2=3$, som stemmer. Dermed er $\underline{\underline{a=11}}$.

Fra den andre likningen har vi alltid $y=2x+3$, uavhengig av $a$. Vi setter dette inn i den første likningen:

Antall løsninger av likningssystemet er dermed det samme som antall løsninger av denne andregradslikningen i $x$, og det avgjøres av diskriminanten $D=b^2-4ac$ med $a_{\text{koeff}}=1$, $b=-6$ og $c=a-6$:

• Én løsning når $D=0$: $60-4a=0\Rightarrow \underline{\underline{a=15}}$
• To løsninger når $D>0$: $60-4a>0\Rightarrow \underline{\underline{a<15}}$
• Ingen løsning når $D<0$: $60-4a<0\Rightarrow \underline{\underline{a>15}}$

Illustrasjonen under viser de tre tilfellene: parabelen $y=\frac{x^2}{2}-x+\frac{a}{2}$ tegnet for $a=10$ (grønn, to skjæringspunkter med linja), $a=15$ (blå, tangerer linja i ett punkt) og $a=20$ (rød, ingen skjæringspunkter):