Andregradsfunksjon med tangent fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til andregradsfunksjonen f med tangenten t i punktet (2, f(2))

Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon $f$ sammen med tangenten $t$ til grafen i punktet $(2, f (2))$ .

Bestem $f (0)$ og $f (4)$ .

Bestem likningen til tangenten $t$ .

Bestem $f^{'} (1)$ og $f^{'} (2)$ .

Bestem funksjonsuttrykket til $f$ .

Fasit

$f (0) = 4, f (4) = 0$

$t : y = - x + 6$

$f^{'} (1) = 0, f^{'} (2) = - 1$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser rett av grafen til $f$ (den blå kurven). Kurven skjærer $y$ -aksen i $y = 4$ , og den skjærer $x$ -aksen ved $x = 4$ :

f (0) = 4 f (4) = 0

Tangenten $t$ (den røde linja) er rett linje, og vi leser av to punkter den går gjennom: $(0, 6)$ og $(6, 0)$ .

Stigningstallet blir

a_{t} = \frac{0 - 6}{6 - 0} = - 1

Konstantleddet er $y$ -verdien der linja skjærer $y$ -aksen, altså $6$ . Likningen til tangenten er dermed

t : y = - x + 6

Toppunktet til parabelen $f$ ligger ved $x = 1$ (avlest av grafen). I et toppunkt er tangenten horisontal, så

f^{'} (1) = 0

Tangenten $t$ er tangent til $f$ i punktet $(2, f (2))$ , så stigningstallet til $f$ i $x = 2$ er lik stigningstallet til $t$ :

f^{'} (2) = a_{t} = - 1

Siden $f$ er en andregradsfunksjon, kan vi skrive $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , med $f^{'} (x) = 2 a x + b$ .

Fra a) vet vi $f (0) = c = 4$ .

Fra c) vet vi

\begin{matrix} f^{'} (1) & = 2 a + b = 0 \\ f^{'} (2) & = 4 a + b = - 1 \end{matrix}

Vi trekker den første likningen fra den andre:

(4 a + b) - (2 a + b) = - 1 - 0 \Rightarrow 2 a = - 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{2}

Innsatt i $2 a + b = 0$ :

2 \cdot (- \frac{1}{2}) + b = 0 \Rightarrow b = 1

Funksjonsuttrykket blir dermed

f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 4

Vi kontrollerer mot a): $f (4) = - \frac{1}{2} \cdot 16 + 4 + 4 = - 8 + 4 + 4 = 0$ , som stemmer.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2017, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, Graftolkning

Innstillinger