Andregradsdifferensiallikning med startbetingelser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En differensiallikning er gitt ved

y^{''} - 2 y^{'} + y = 0

Vis at $y = A \cdot e^{x} + B \cdot x \cdot e^{x}$ er den generelle løsningen av differensiallikningen.

Bestem $A$ og $B$ når du får vite at $y (0) = 3$ og $y^{'} (0) = 5$ .

Fasit

Vist i løsningsforslaget.

$A = 3, B = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Den karakteristiske likningen til $y^{''} - 2 y^{'} + y = 0$ er

r^{2} - 2 r + 1 = 0 \Rightarrow {(r - 1)}^{2} = 0,

som har dobbel rot $r = 1$ . Da er den generelle løsningen på formen $y = (A + B x) e^{x}$ , altså $y = A e^{x} + B x e^{x}$ .

Vi kan også bekrefte dette ved direkte innsetting. Vi deriverer:

y = A e^{x} + B x e^{x}

y^{'} = A e^{x} + B (e^{x} + x e^{x}) = (A + B) e^{x} + B x e^{x}

y^{''} = (A + B) e^{x} + B (e^{x} + x e^{x}) = (A + 2 B) e^{x} + B x e^{x}

Setter vi inn i differensiallikningen:

y^{''} - 2 y^{'} + y = [(A + 2 B) - 2 (A + B) + A] e^{x} + [B - 2 B + B] x e^{x}

= [A + 2 B - 2 A - 2 B + A] e^{x} + 0 \cdot x e^{x} = 0 \cdot e^{x} = 0.

Likningen er dermed oppfylt for alle verdier av $A$ og $B$ , så $y = A e^{x} + B x e^{x}$ er den generelle løsningen. $■$

Fra a) har vi $y = A e^{x} + B x e^{x}$ og $y^{'} = (A + B) e^{x} + B x e^{x}$ .

Betingelse $y (0) = 3$ :

y (0) = A e^{0} + B \cdot 0 \cdot e^{0} = A = 3

A = 3

Betingelse $y^{'} (0) = 5$ :

y^{'} (0) = (A + B) e^{0} + B \cdot 0 \cdot e^{0} = A + B = 5

Siden $A = 3$ :

3 + B = 5 \Rightarrow B = 2

A = 3, B = 2

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2020, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning

Innstillinger